2025版一轮高中总复习数学 (通用版)必刷题库　椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质.docx

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必刷小题18椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质

一、单项选择题

1.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的离心率是（

A.32或

C.32

解析：A∵m是2和8的等比中项，∴m＝4或m＝－4，当m＝4时，方程为x2＋y24＝1，表示椭圆，∴a＝2，b＝1，c＝a2－b2＝3，∴离心率为32，当m＝－4时，方程为x2－y24＝1，表示双曲线，∴a＝1，b＝2，c＝a

2.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F.若直线x＝4与C交于A，B两点，且｜AB｜＝8，则｜AF｜＝（）

A.3 B.4

C.5 D.6

解析：C将x＝4代入y2＝2px，解得｜y｜＝22p，则A（4，22p），B（4，－22p），所以｜AB｜＝42p＝8，解得p＝2，则｜AF｜＝p2＋

3.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的面积为62π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点.直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－89

A.3 B.6

C.22 D.42

解析：B椭圆的面积S＝πab＝62π，即ab＝62，①.因为点P为椭圆C的上顶点，所以P（0，b）.因为直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，不妨设A（m，n），则B（－m，－n）且m2a2＋n2b2＝1，所以m2＝a2－a2n2b2.因为PA，PB的斜率之积为－89，所以n－bm·－n－b－m＝－89，把m2＝a2－a2n2b2代入整理化简得

4.已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴的交点为D，过焦点F的直线l与抛物线C的一个交点为A，交准线于点B，若FA＝2BF，则△BDF的面积为（）

A.5 B.25

C.42 D.22

解析：A

直线l过该抛物线的焦点F（1，0），过A作准线的垂线，垂足为E，如图所示，易得△BDF∽△BEA，由抛物线的定义知：｜FD｜＝2.因为FA＝2BF，所以｜AE｜＝6，所以xA＝5，yA＝－25，故A（5，－25），所以｜ED｜＝25，｜BD｜＝5，所以S△BDF＝5.故选A.

5.经过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，

A.x25＋y24＝1 B.x

C.x220＋y216＝1 D.x

解析：D设椭圆的半焦距为c，由题意知，椭圆的左焦点为（－c，0），上顶点为（0，b），则直线l的方程为x－c＋yb＝1，即bx－cy＋bc＝0，因为椭圆M的中心为坐标原点，所以bcb2＋c2＝2①.又短轴长是焦距的2倍，所以2b＝2×2c，即b＝2c②.联立①②，解得b2＝20，c2＝5，所以a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆M的方程为

6.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，直线l与C交于P，Q两点，D为线段PQ的中点，O为坐标原点，则l

A.2 B.3

C.4 D.6

解析：B设P（x1，y1），Q（x2，y2），D（x0，y0），则x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，两式作差，并化简得，（x1－x2)(x1＋x2）a2＝（y1－y2)(y1＋

7.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2a2－1＝1（a＞1）的左、右焦点，过F1垂直于长轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3.P（1，1）为C内一点，Q为C上任意一点，则｜PQ｜＋

A.3 B.4C.5D.6

解析：A连接QF2，PF2，由椭圆方程可得c＝a2－a2+1＝1，故F1（－1，0），F2（1，0），在椭圆方程x2a2＋y2a2－1＝1（a＞1）中，令x＝－1，则y＝±a2－1a，因为｜AB｜＝3，故2×a2－1a＝3，解得a＝2，故椭圆方程为x24＋y23＝1.而｜PQ｜＋｜QF1｜＝｜PQ｜＋4－｜QF2｜，因为｜｜PQ｜－｜QF2｜｜≤｜PF2｜，故｜PQ｜－｜QF2｜≥－｜PF2｜，当且仅当P，Q，F2三点共线且P在F2，Q中间时等号成立，故｜PQ｜

8.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”.已知F1，F2是一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当∠F1MF2＝π3时，这一对“优美曲线”中双曲线的离心率是（

A.2 B.2

C.2

解析：D设F1M＝m，F2M＝n（m＞n＞0），F1F2＝2c，由余弦定理（2c）2＝m2＋n2－2mncos60°，即4c2＝m2＋n2－mn①，设a1是椭圆的长半轴长，a2为双曲线的实半轴长