备战2025年高考数学一轮复习阶段滚动检测（三）.pptx

阶段滚动检测(三)120分钟150分

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5.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列,中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣,创造并发展了名为“垛积术”的算法,展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛,最顶层有1个小球,第二层有3个,第三层有6个,第四层有10个,则第30层小球的个数为()A.464 B.465 C.466 D.495

【解析】选B.记第n层有an个球,则a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,结合高阶等差数列的概念知a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2),则第30层的小球个数a30=(a30-a29)+(a29-a28)+…+(a2-a1)+a1=30+29+28+…+2+1=465.

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10.(2024·莆田模拟)正项等比数列{an}的前n项积为Tn,且满足a11,(a6-1)(a7-1)0,则下列判断正确的是()A.0q1B.a5a71C.Tn的最大值为T6D.T131

【解析】选ABC.由(a6-1)(a7-1)0得a61a7或a71a6,若a71a60,则q1,结合a11得a61,矛盾;所以a61a70,所以0q1,故A正确;由上述分析得a5a7=(a6)21,故B正确;由上述分析得a1a2a3a4a5a61a7…,故T6最大,C正确;T13=a1·a2·a3·a4·a5·…·a13=(a7)131,故D错误.

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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·徐州模拟)围棋起源于中国,至今已有4000多年的历史.在围棋中,对于一些复杂的死活问题,比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时,可利用数列通项的递推方法来计算.假设大小为n的眼有an口气,大小为n+1的眼有an+1口气,则an与an+1满足的关系是a1=1,a2=2,an+1-n=an-1(n≥2,n∈N*).则an的通项公式为__________________________.??

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【加练备选】(2024·运城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=3an-2,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;

【解析】(1)当n=1时,2a1=3a1-2,所以a1=2,当n≥2时,2Sn=3an-2,所以2Sn-1=3an-1-2,两式相减,得2an=3an-3an-1,所以an=3an-1,又a1=2≠0,所以数列{an}为等比数列,首项为2,公比为3,所以数列{an}的通项公式是an=2·3n-1.

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19.(17分)(2024·济南模拟)设数列{an},其前n项和为Sn,2Sn=3n2+3n,{bn}为单调递增的等比数列,b1b2b3=729,b1+a2=b3-a6.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

【解析】(1)对于数列{an},因为2Sn=3n2+3n①,所以2Sn-1=3(n-1)2+3(n-1),n≥2,n∈N*②,①-②得an=3n(n≥2,n∈N*),由①式,当n=1时,得a1=3,也满足an=3n,所以an=3n(n∈N*).因为数列{bn}为等比数列,

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(2)记cm为{bn}在区间(0,am](m∈N*)中的项的个数,求数列{cm}的前100项和T100.

【解析】(2)由于31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,所以c1,c2对应的区间为(0,3],(0,6],则c1=c2=1,即有2个1;c3,c4,…,c8对应的区间为(0,9],(0,12],…,(0,24],则c3=c4=…=c8=2,即有6个2;c9,c10,…,c26对应的区间为(0,27],(0,30],…,(0,78],则c9=c10=…=c26=3,即有18个3;

c27,c28,…,c80对应的区间为(0,81],(0,84],…,(0,240],则c27=c28=…=c80=4,即有54个4;c81,c82,…,c100对应的区间为(0,243],(0,246],…,(0,300],则c81=c82=…=c100=5,即有20个5;所以T100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384.

本课结束