2025版高考数学一轮复习第八篇平面解析几何必修2选修1_1第7节圆锥曲线的综合问题习题理含解析.docVIP

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第7节圆锥曲线的综合问题

【选题明细表】

学问点、方法

题号

直线与圆锥曲线的位置关系

2,3,4,8

弦长和中点弦问题

1,5,7

定点、定值问题

11,12

最值、范围、存在性问题

6,9,10,13

基础巩固(时间:30分钟)

1.设AB为过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为(C)

(A) (B)p

(C)2p (D)无法确定

解析:当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x=,所以y=±p,|AB|min=2p.选C.

2.(2024·兰州一中模拟)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为(A)

(A) (B) (C) (D)2

解析:设过抛物线y2=4x焦点F的直线l:x=ty+1交抛物线于A(x1,y1),

B(x2,y2)两点,

因为点A在第一象限且=3,

所以y1=-3y20,

联立得y2-4ty-4=0,

则解得

即直线l的斜率为.故选A.

3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(D)

(A)(-,) (B)(0,)

(C)(-,0) (D)(-,-1)

解析:由得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),

则

解得-k-1.即k的取值范围是(-,-1).选D.

4.(2024·广西三市其次次调研)过点(2,1)的直线交抛物线y2=x于A,B两点(异于坐标原点O),若OA⊥OB,则该直线的方程为(B)

(A)x+y-3=0 (B)2x+y-5=0

(C)2x-y+5=0 (D)x+2y-5=0

解析:视察选项知AB不垂直于x轴,

设AB:y-1=k(x-2)与y2=x联立化为

2ky2-5y+(5-10k)=0,

所以y1·y2=,y1+y2=,

x1=,x2=,

由OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,

所以(y1y2)2+y1y2=0即()2+=0,

解得k=-2或,当k=时直线过原点,舍去,

所以k=-2,只有选项B满意.选B.

5.(2024·安徽马鞍山三模)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(D)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直

线AB的斜率k==,

两式相减得+=0,

即+=0?+×()×=0,即a2=2b2,又c2=9,a2=b2+c2,

解得a2=18,b2=9,方程是+=1,故选D.

6.(2024·昆明一中模拟)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上随意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(A)

(A) (B) (C) (D)1

解析:由题意可得F(,0),设P(,y0),(y00),

则=+=+=+(-)=+=(+,),可得

kOM==≤=.当且仅当=时取得等号,选A.

7.(2024·山西省六校第四次联考)已知抛物线C:x2=8y,直线l:y=x+2与C交于M,N两点,则|MN|=.?

解析:所以(y-2)2=8y,

所以y2-12y+4=0,

所以y1+y2=12,y1y2=4.

因为直线l:y=x+2,过抛物线的焦点F(0,2),

所以|MN|=(y1+2)+(y2+2)=y1+y2+4=16.

答案:16

8.(2024·大庆一模)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作一条斜率大于0的直线l,l与抛物线交于M,N两点,且|MF|=3|NF|,则直线l的斜率为.?

解析:抛物线C:y2=4x,焦点F(1,0),准线为x=-1,

分别过M和N作准线的垂线,垂足分别为C和D,作NH⊥CM,垂足为H,

设|NF|=x,则|MF|=3x,

由抛物线的定义可知:|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|=3x,

所以|HM|=2x,由|MN|=4x,

所以∠HMF=60°,

则直线MN的倾斜角为60°,

则直线l的斜率k=tan60°=.

答案:

实力提升(时间:15分钟)

9.(2024·云南玉溪模拟)已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是(C)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)2

解析:因为O为F1F2的中点,

所以+=2,可得|+|=2||,

当点P到原点的距离最小时,||达到最小值,

|+|同时达到最小值.

因为椭圆x2+2y2=2化成标准形式,得+y2=1,

所以a2=2且b2=1,