2025版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性教案理含解析新人教A版.docVIP

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第3讲函数的奇偶性与周期性

基础学问整合

1．函数的奇偶性

2．函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有eq\o(□,\s\up3(05))f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个eq\o(□,\s\up3(06))最小的正数，那么这个eq\o(□,\s\up3(07))最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．函数奇偶性的四个重要结论

(1)假如一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么肯定有f(0)＝0.

(2)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．周期性的三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．

3．对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的随意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

1．(2024·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝()

A．－20B．20C．－12D．12

答案D

解析f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D.

2．(2024·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()

A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝log2|x|

C．y＝1－x2 D．y＝x3－1

答案C

解析函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．

3．(2024·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围为()

A．(－1,4)B．(－2,1)C．(－1,2)D．(－1,0)

答案A

解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即eq\f(2a－3,a＋1)1，化简得(a－4)(a＋1)0，解得－1a4.故选A.

4．设函数f(x)＝eq\f(?x＋1??x＋a?,x)为奇函数，则a＝________.

答案－1

解析∵f(x)＝eq\f(?x＋1??x＋a?,x)为奇函数，

∴f(1)＋f(－1)＝0，

即eq\f(?1＋1??1＋a?,1)＋eq\f(?－1＋1??－1＋a?,－1)＝0，∴a＝－1.

5．(2024·沈阳模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________．

答案(－1,3)

解析∵f(2)＝0，f(x－1)0，

∴f(x－1)f(2)，又∵f(x)是偶函数，

∴f(|x－1|)f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x－1|2，∴－2x－12，

∴－1x3，∴x∈(－1,3)．

6．(2024·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x?1－x?，0≤x≤1，,sinπx，1x≤2，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝________.

答案eq\f(5,16)

解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1