2024届北京市徐悲鸿中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.docVIP

2024届北京市徐悲鸿中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）

A． B． C． D．

2．设全集，集合，，则集合（）

A． B． C． D．

3．已知满足，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

4．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（）

A． B．

C．1 D．3

5．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()

A．3 B． C． D．

6．设，，，则的大小关系是()

A． B． C． D．

7．已知函，，则的最小值为（）

A． B．1 C．0 D．

8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.

A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸

9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（）

A． B． C． D．

10．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）

A． B． C． D．

11．集合的真子集的个数为()

A．7 B．8 C．31 D．32

12．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

以上说法正确的是（）

A．③④ B．①② C．②④ D．①③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为__

14．已知，满足约束条件，则的最大值为________．

15．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是______.

16．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.

（1）求证：；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值.

19．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.

20．（12分）已知函数，其中.

（1）当时，求在的切线方程；

（2）求证：的极大值恒大于0.

21．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.

（1）求数列{an}的通项an；

（2）设bn＝an?3n，求数列{bn}的前n项和Tn.

22．（10分）设等比数列的前项和为，若

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

展开式的通项为

，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1．

所以.故选C

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

2、C

【解析】

∵集合，，

∴

点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.

3、C

【解析】

设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

解：设，则的几何意义为点到点的斜率，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；

取所有负值都成立；

当过点时，取正值中的最小值，，此时；

故的取值范围为；

故选：C.