5.2 导数的运算（6大题型）精讲（解析版）.docxVIP

5.2导数的运算

重点：会用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数

难点：理解简单复合函数的复合过程，正确地运用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数。

一、基本初等函数的导数

函数

导函数

函数

导函数

(c是常数)

(为实数)

特别地

特别地

二、导数的运算法则

1、加减法：

2、乘法：

3、除法：

三、复合函数的导数

1、复合函数的概念

一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.

2、复合函数的求导法则

一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

规律：从内到外层层求导，乘法连接。

3、求复合函数的导数的步骤

第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；

第三步相乘：把上述求导的结果相乘；

第四步变量回代：把中间变量代回。

4、求复合函数的导数注意以下几点：

（1）分解的函数通常为基本初等函数；

（2）求导时分清是对哪个变量求导；

（3）计算结果尽量简洁。

四、导函数的常用结论

1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．

2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

题型一求简单函数的导数

【例1】（2023·河北·高二河北师范大学附属中学校考阶段练习）函数的导数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】.故选：C

【变式1-1】（2023·甘肃·高二天水市第一中学校考阶段练习）下列求导运算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】对于A中，由，所以A错误；

对于B中，由，所以B正确；

对于C中，由，所以C错误；

对于D中，由，所以D错误.故选：B.

【变式1-2】（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）（多选）下列函数求导正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】BD

【解析】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D正确；故选：BD

【变式1-3】（2023·高二课时练习）求下列函数的导数．

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）

（2）

（3）

题型二求复合函数的导数

【例2】（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）函数的导函数为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由得，故选：B

【变式2-1】（2023·湖北·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）（多选）下列求函数的导数正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】ACD

【解析】选项A:正确；

选项B:错误；

选项C：正确；

选项D：，正确；故选：ACD

【变式2-2】（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考阶段练习）求下列函数的导数：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为，

所以.

（2）.

【变式2-3】（2023·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）求下列函数的导数．

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

（2）

题型三求某点处的导数值

【例3】（2023·重庆·高二校联考期末）若函数，则（）

A．B．C．3D．4

【答案】B

【解析】，则.故选：B

【变式3-1】（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设，

即，则，

，故选：D.

【变式3-2】（2023·海南·高二校考期末）函数的导函数为，且满足，则的值为（）

A．5B．1C．6D．-2

【答案】C

【解析】函数，求导得，

当时，，解得，

因此，所以.故选：C

【变式3-3】（2023·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知函数，则（）

A．4B．2C．-2D．-4

【答案】A

【解析】当时，，所以，

又，则，解得，

由定义可知，．故选：A．

题型四求切线的斜率与方程

【例4】（2023·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）曲线在处的切线的斜率为（）．

A．4B．3C．2