2023-2024学年北京大学附中行知、未名学院高二（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京大学附中行知、未名学院高二（下）期中数学试卷

一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n+2，则公差为（）

A．5 B．4 C．2 D．3

2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）

A．y＝x+lnx B．y＝x+x3 C．y=x+1x D．y＝x

3．已知函数f（x）＝sin2x，下面说法正确的是（）

A．f（x）在[0，π4]上的平均变化率为1 B．f′（x

C．x=π3是f（x）的一个极大值点 D．f（x）在x＝0

4．在数列{an}中，a1＝1，且an+a

A．841 B．421 C．840 D．420

5．已知函数y＝f（x）的定义域为R，其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）

A．2是f（x）的极大值点 B．f（x）在（0，f（0））处的切线斜率大于0

C．f（3）＜f（4） D．f（x）在（﹣3，5）上一定存在最小值

6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a3＞a2＞a1”是“数列{Sn}为递增数列”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若S8＞S3，且S13＜0，则当Sn取得最大值时，n＝（）

A．3 B．6 C．7 D．8

8．若函数f(x)=lnx-x22在（m，

A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1]

9．给出以下k值：①k＝﹣e，②k=-1e，③k＝0，④k＝1

A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②④

10．李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝3，an+3＝an+an+1﹣an+2．给出下列结论：

①a2023＝2023；

②a2024＝﹣2020；

③设Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S2023＝5056；

④设Tn＝a1?a2?a3?…?an，则Tn有最大值，但没有最小值．

其中所有正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题。共5小题，每小题4分，共20分。

11．已知等比数列{an}中，a2＝﹣8，a3＝4，则该数列的前4项和为．

12．设f（x）＝x3+ax2+3x+1，使f（x）存在极值的一个a的值可以是．

13．设f（x）＝ax2+bx+lnx，若f（x）的单调减区间为（1，2），则a＝，b＝．

14．函数f（x）的定义如下表：

x

1

2

3

4

5

f（x）

5

1

2

3

4

已知a0＝4，且数列{an}满足对任意的n∈N*，均有an＝f（an﹣1）．若am+1+am+2+am+3+…+a180＝105，则正整数m的值为．

15．牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用．如图，设r是方程f（x）＝0的根，选取x0作为r初始近似值．

过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）在（x0，f（x0））处的切线，切线方程为l1，当f′（x0）≠0时，称l1与x轴的交点的横坐标x1是r的1次近似值；

过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）在（x1，f（x1））处的切线，切线方程为l2，当f′（x1）≠0时，称l2与x轴的交点的横坐标x2是r的2次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列{xn}．这就是所谓的“牛顿迭代法”．

（1）当f′（xn）≠0，n∈N*时，r的n+1次近似值xn+1与n次近似值xn可建立等式关系：xn+1＝；

（2）若取x0＝2作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算3的2次近似值为．（用分数表示）．

三、解答题。共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（10分）已知函数f(x)=1

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最小值．

17．（10分）已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2+a4＝10，数列{bn}满足b1＝1，bn+1＝2bn+1．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列{bn+1}是等比数列；

（Ⅲ）设cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

18．（10分）设函数f（x）＝x2eax．

（Ⅰ）求f（x）的单