《数学分析》第11章-反常积分课件课件.pdf

§1反常积分概念

反常积分讨论的是无穷区间上的积

分和无界函数的积分，是定积分概念

的推广.

一、反常积分的背景

二、两类反常积分的定义

一、反常积分的背景

在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间

的有穷性;被积函数的有界性.

但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间

上的“积分”或无界函数的“积分”.

例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火

箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初

速度v至少要多大？

0

解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重



力加速度为g,按万有引力定理,在距地心xR

处火箭所受的引力为

mgR2

F2,

x

于是火箭从地面上升到距地心为处需作



rR

功rmgR2211

dxmgR.

2

RxRr

当r

时,其极限mgR就是火箭无限远离地

球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为

的积分

22

mgRrmgR

R2dxlimR2dxmgR.

xrx

v

由机械能守恒定律可求初速度至少应使

0

12

2mv0mgR.

26

用g9.81(m/s),R6.37110(m)代入,得

v02gR11.2(km/s).

例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有

一半径为r的小孔．试问从盛满水开始打开小孔

直至流完桶中的水,共需多少时间？

解桶内水位高度为时,流出水的速度为

hx

v2g(hx).

在时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,它们

之间应满足22因此

πRdxvπrdt