人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算【教学设计】.doc

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人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算教学设计

课题

6.2.3向量的数乘运算

课型

新课型

课时

1课时

学习目标

1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；

2.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.

3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.

4.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；

学习重点

教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；

学习难点

教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、减运算，并且初步体会了研究向量运算的一般方法，即先由特殊模型抽象出概念，然后再从概念出发，还在与实数运算类比的基础上研究了向量加法的运算律.这为学生学习向量的数乘运算做了很好的铺垫，使学生更容易接受.

核心知识

1.了解向量数乘的概念.

2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.

3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法．

教学内容及教师活动设计

（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）

教师个人复备

问题1：向量加法的三角形法则和平行四边形法则各是什么？

问题2：向量减法的几何意义是什么？

【师生互动】师生共同回顾前面所学过的向量加法和减法的相关知识.

【设计意图】学习新知识前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备.

◆探究

已知非零向量，作出和．它们的长度和方向分别是怎样的？

如图6.2-14，．类比数的乘法，我们把记作，即．显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即|．

类似地，由图6.2-14可知，，我们把记作，即．显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即．

一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplicationofvectorbyscalar)，记作，它的长度与方向规定如下：

(1)；

(2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反．

由(1)可知，当时，．

由(1)(2)可知，．

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

?2?λa?a≠0?的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ0时，与a的方向相同；,当λ0时，与a的方向相反.))

特别地，当λ＝0时，λa＝0．

当λ＝－1时，(－1)a＝－a.

注意点：

(1)数乘向量仍是向量．

(2)实数λ与向量不能相加．

eq\o\ac(○,?)你对零向量、相反向量有什么新的认识？

eq\o\ac(○,?)思考

如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？

根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的．

设，为实数，那么

（1）；

（2）；

（3）．

特别地，我们有

，

．

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．

对于任意向量，，以及任意实数，μ1，μ2，恒有

总结：数乘运算的运算律

设λ，μ为实数，那么

(1)λ(μa)＝(λμ)a.

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

应用新知

例5计算：

（1）；（2）；

（3）．

解：（1）原式＝；

（2）原式＝；

（3）原式＝．

【变式】已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数.

【答案】

【知识点】已知向量共线（平行）求参数

【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解.

【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得，

所以，即，

又因为是两个不共线的向量，所以，

解得

故答案为：.

向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

注意点：

(1)向量共线定理中规定a≠0．

(2)λ的值是唯一存在的．

例6如图6.2-15，□ABCD的两条对角线相交于点，且，，用，表示，，和．

解：在□ABCD中，

，．

由平行四边形的两条对角线互相平分，得

，

，

，．

【变式】在△ABC中，点D满足，点E满足，则=（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】向量的线性运算的几何应用

【分析】由平面向量的线性运算法则求解．

【详解】如图1，

.

故选：C