湖南省常德市2024-2025学年高二上册第一次月考数学检测试题（含解析）.docx

湖南省常德市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学检测试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，，，则（）

A B.

C D.

2已知复数（），且，则（）

A.1 B.2 C. D.

3已知，，则（）

A. B. C. D.

4.已知定义在上的函数满足，且当时，，则（）

A.2 B.4 C. D.

5.在正方体中，二面角的正切值为（）

A B. C. D.

6.已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（）

A. B.

C. D.

7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

8.已知过点的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则的最小值为（）

A.12 B.8 C.6 D.4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（）

A.的最小正周期为

B.的图象关于直线对称

C.的图象关于点中心对称

D.的值域为

10.若数据，，和数据，，的平均数、方差、极差均相等，则（）

A.数据，，，，，与数据，，的平均数相等

B.数据，，，，，与数据，，的方差相等

C.数据，，，，，与数据，，的极差相等

D.数据，，，，，与数据，，的中位数相等

11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（）

A.当P为底面的中心时，

B.当时，长度的最小值为

C.当时，长度的最大值为6

D.当时，为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量，.若，则__________.

13.已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

14.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）若，求B；

（2）若，，求的面积.

16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为.

（1）求甲连续打四局比赛的概率；

（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；

（3）求第四局甲轮空的概率.

17.如图，在几何体中，平面，，，，，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面．

（2）证明.

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

18.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”．

（1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；

（2）若集合是“等差集”，求m的值；

（3）已知正整数，证明：不是“等差集”．

19.过点作斜率分别为，的直线，，若（），则称直线，是定积直线或定积直线.

（1）已知直线a：（），直线b：，试问是否存在点A，使得直线a，b是定积直线？请说明理由.

（2）在中，O为坐标原点，点P与点M均在第一象限，且点在二次函数的图象上.若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点P的坐标.

（3）已知直线m与n是定积直线，设点到直线m，n的距离分别为，，求的取值范围.

湖南省常德市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学检测试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将