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平面应力状态

课程导引基础知识本课程将深入探讨平面应力状态的概念，为后续学习材料力学、结构力学等课程奠定基础。工程应用了解平面应力状态对于分析和设计各种工程结构至关重要，例如桥梁、建筑物和机械。学习目标通过学习本课程，你将掌握平面应力状态的定义、特点、表示法以及应用。

平面应力状态的定义1定义当物体内部各点处的应力都平行于某个固定平面，且该平面上的应力分量为零时，该物体所处的应力状态称为平面应力状态。2特征平面应力状态下，物体内部各点处只有两个非零应力分量，且这两个分量都平行于该平面。3应用平面应力状态广泛应用于薄板、薄壳等结构的力学分析，并为解决复杂应力问题的基础。

平面应力状态的特点应力集中在物体表面存在孔洞、缺口等几何形状变化时，应力会集中在这些部位，形成应力集中现象。应力分布平面应力状态下的应力分布具有规律性，可以通过理论分析或数值计算来确定。边界条件平面应力问题的边界条件是指物体边界上的应力或位移条件，影响着应力分布。

平面应力的表示法平面应力状态可以用一个应力张量来表示，该张量是一个二阶张量，可以由九个应力分量构成。由于是平面应力状态，其中三个应力分量为零，因此平面应力状态可以用六个独立的应力分量来描述。这六个分量分别是：σx、σy、τxy、τyx、σz、τxz。其中σx和σy代表平面内正应力，τxy和τyx代表平面内剪应力，而σz和τxz代表平面外正应力和剪应力。由于是平面应力状态，因此σz和τxz都为零。平面应力状态还可以用一个应力圆来表示，应力圆是一个以主应力为直径的圆，圆上的点代表着不同方向上的应力状态。通过应力圆，我们可以直观地了解平面应力状态的特点和变化趋势。

平面应力成分的转换1坐标系变换平面应力状态下的应力分量，会随坐标系的改变而改变。2应力转换公式根据坐标系变换的角度，利用正弦和余弦函数，推导出应力分量之间的转换关系。3应力张量利用应力张量进行应力分量的转换，可以简化计算。

主应力与主应力方向主应力在平面应力状态下，存在着两个相互垂直的方向，在这两个方向上，应力仅为正应力，且没有剪应力。主应力方向主应力方向是指主应力作用的方向。主应力方向与剪应力方向相互垂直。

主应力的确定1应力状态平面应力状态的几何关系描述了力的方向和作用位置2应力分量应力状态可以用三个应力分量来表示，其中一个是法向应力，另外两个是切向应力3主应力主应力是作用在物体上的最大法向应力和最小法向应力，其方向是主应力方向

Mohr应力圆Mohr应力圆是一种图形方法，用于表示和分析平面应力状态。它可以用来确定主应力、最大剪应力以及不同方向上的应力。Mohr应力圆是一个以应力为坐标的圆形图，它将平面应力状态中的所有应力状态都表示在一个圆上。

Mohr应力圆的构造确定坐标轴横轴表示正应力，纵轴表示切应力。绘制代表点以两个互相垂直的平面上的正应力和切应力为坐标，在坐标系中绘制代表点。连接代表点连接两个代表点，该直线即为Mohr应力圆的直径。绘制应力圆以直线的中点为圆心，以直线长度的一半为半径，绘制圆形，即为Mohr应力圆。

Mohr应力圆的应用确定任意方向上的正应力和剪应力判断材料的强度和安全系数优化结构设计，提高结构安全性和经济性

极限平面应力状态断裂极限材料在承受应力时，当应力达到一定程度时，材料将会发生断裂。屈服极限材料在承受应力时，当应力达到一定程度时，材料将会发生塑性变形，不再能恢复到原状。疲劳极限材料在承受交变应力时，当应力达到一定程度时，材料将会发生疲劳断裂。

应力状态的判断1应力状态类型2应力分量大小3应力方向4应力状态特征

平面应力状态的三种形式单轴应力状态仅在一个方向上存在应力，而在其他方向上应力为零。例如，一根悬挂的钢丝受到自身重量产生的拉伸应力。双轴应力状态在两个相互垂直的方向上存在应力，而在垂直于这两个方向的方向上应力为零。例如，一块方形钢板被两个方向的力拉伸。等双轴应力状态在两个相互垂直的方向上存在大小相等、方向相同的应力。例如，一块方形钢板被均匀加热或冷却。

单轴应力状态定义仅存在一个方向上的应力，其他方向上的应力为零。特点应力状态简单，容易分析。例子拉伸杆、压缩杆等。

双轴应力状态1定义在两个互相垂直的方向上，存在大小相等的应力，而其他方向上应力为零。2特点应力状态简单，便于分析，在工程实践中应用广泛。3应用用于分析薄壁容器、压力管道等受力情况。

等双轴应力状态定义在垂直于两个互相垂直平面的方向上，作用着大小相等、方向相反的拉伸或压缩应力，而在第三个方向上没有应力。特点在等双轴应力状态下，物体内部各个方向上的应力都相等，且保持平衡。应用等双轴应力状态在一些工程应用中很常见，比如薄膜、薄板、压力容器等。

平面应力问题的处理模型建立根据实际问题建立数学模型，如梁、板、壳等。边界条件确定