2023-2024学年北京市中国人民大学附中高二（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京市中国人民大学附中高二（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）

1．已知数列{an}的通项公式是an＝n2+1，则122是该数列的（）

A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项

2．若函数f（x）＝x2，则limΔx→0

A．1 B．2 C．3 D．4

3．等差数列{an}中，若a1+a2+a3＝3，a4+a5+a6＝21，则其公差等于（）

A．2 B．3 C．6 D．18

4．如图是函数y＝f（x）的导数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）

A．f（x）是区间[﹣3，1]上的增函数 B．f（x）是区间[1，2]上的减函数

C．1是f（x）的极大值点 D．4是f（x）的极小值点

5．若Sn是等差数列{an}的前n项和，S8

A．a8≥0，a9＜0 B．a8＞0，a9＜0 C．a8＝0，a9＜0 D．a8＞0，a9＝0

6．若函数f(x)=13x

A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．[1，+∞）

7．等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2＝（）

A．8 B．6 C．4 D．2

8．已知f（x）在x＝x0处可导，在x0附近x的函数值f（x），可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）．对于函数f(x)=x，利用这一方法，m＝f（4.001

A．大于m B．小于m C．等于m D．与m的大小关系无法确定

9．设Sn为无穷等比数列{an}的前n项和，则“{an}有最大值”是“{Sn}有最大值”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

10．设函数f（x）定义域为D，若函数f（x）满足：对任意c∈D，存在a，b∈D，使得f(a)-f(b)a-b=f（c）成立，则称函数f（

A．f（x）＝x2 B．f（x）＝x3 C．f（x）＝ex D．f（x）＝lnx

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）

11．函数f（x）＝sin2x，则f（x）＝．

12．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）?（n+n）＝2n×1×3×?×（2n﹣1）”时，假设n＝k时成立，证明n＝k+1时也成立，可在左边乘以一个代数式．

13．已知函数f(x)=12x2+2ax-lnx，若f（x）在区间[12

14．小杰想测量一个卷纸展开后的总长度，卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱，测得小圆柱底面的直径为5厘米，大圆柱底面的直径为11厘米．由于单层纸的厚度不易测量，小杰利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米．试估算这个卷纸的总长度（单位：米）为．（结果精确到个位，取π＝3.14）

15．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：

①存在一类曲线，其法线恒过定点；

②若曲线y＝x4的法线的纵截距存在，则其最小值为34

③存在两条直线既是曲线y＝ex的法线，也是曲线y＝lnx的法线；

④曲线y＝sinx的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．

其中所有说法正确的序号是．

三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）

16．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax，f（x）在x＝0处取得极值．

（1）求f（x）在区间[2023，2024]上的平均变化率；

（2）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（3）求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线方程．

17．（10分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝3，S5＝35．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{|an|}的前n项和为Tn，求T10．

18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a∈R．

（1）当a＝﹣1时，求f（x）的极值；

（2）讨论当a＞0时函数y＝f（x）的单调性；

（3）若函数g（x）＝f（x）﹣ax2有两个不同的零点x1、x2，求实数a的取值范围．

第Ⅱ卷一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）

19．已知函数y＝f（x）满足：对任意a1∈（0，1），由递推