2025届上海市宝山区高三上学期教学质量监测数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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上海市宝山区2025届高三上学期教学质量监测

数学试题

考生注意：

1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；

2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；

3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；

4．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）．

1.集合，则__________.

【答案】

【解析】因为集合，则.

故答案为：.

2.函数的最小正周期为__________.

【答案】

【解析】因为函数，所以,

即函数的最小正周期为.

故答案为：.

3.设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________.

【答案】

【解析】因为为纯虚数，所以，即，

所以.

故答案为：

4.在的展开式中的系数为_________.

【答案】

【解析】由题知，设展开式中通项为，

令，则，.

故答案为：

5.已知为实数，且函数是偶函数，则________.

【答案】

【解析】因为函数偶函数，

所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称，

所以，且，

所以.

故答案为：.

6.某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________.

【答案】

【解析】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，，

共个数，则，

所以这组数据的第百分位数为.

故答案为：.

7.已知关于正整数的方程，则该方程的解为__________.

【答案】或

【解析】根据组合数的性质，由

可知：或，

即或，所以和均满足题意，

所以该方程的解为：或.

故答案为：或

8.若，且，则_________.

【答案】

【解析】∵，∴，

∵，

∴，

∴，

∵，∴.

故答案为：6.

9.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则______.

【答案】

【解析】如图，

取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以，

因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线，

可得.又，

所以，

又，所以，又，

所以，解得.

故答案为：5

10.将棱长为的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为_________.

【答案】

【解析】如图为棱长为的正四面体，作，于点，

在中，，，，

根据题意，正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，

底面半径等于，高等于，

所以旋转后几何体的体积为：.

故答案为：

11.某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）.不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为，

则甲工程整体报价为，

若乙队要确保竞标成功则，

所以，则，

因为，所以函数，

当且仅当时，即时，函数有最小值，

所以函数在上单调递增，故，

故，则，所以实数的取值范围是.

故答案为：.

12.已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为__________.（用含的式子表示）

【答案】或

【解析】由题意有：当时，可得当与同向时，取到最大值，

即此时恒成立，结合，即，

此时；

由于，

所以假设，此时，不符合题意；

故时，不妨设当为锐角，取到最大值，

此时也为锐角，

此时，

，（其中为辅助角）

而，

当时等号成立，

依题意可得恒成立，解得，

由于时单调递减，故，

故令，结合解得

即得，；

由于时，，

所以的最大值为或.

故答案为：或.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）.

13.设,则“”是“”的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】由题知,则同号,

当时,有,

当时,有,

故能推出,

当成立时,又,

对不等式两边同时乘以可得,

故“”是“”的充分必要条件.

故选:C

14.下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】