2025版高考数学一轮复习第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积教案理含解析新人教A版.docVIP

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第2讲空间几何体的表面积和体积

基础学问整合

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是eq\o(□,\s\up4(01))侧面绽开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图及侧面积公式

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()

A．6 B．9

C．12 D．18

答案B

解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB＝6，CD＝3，PC＝3，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×3))×3＝9.故选B.

2．(2024·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()

A．2 B．4

C．6 D．8

答案C

解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3.直四棱柱的高为2，所以体积V＝3×2＝6.故选C.

3．(2024·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()

A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)

C．2＋2eq\r(5) D．5

答案C

解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，

S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝2＋2eq\r(5).故选C.

4．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为eq\r(6)，则球的表面积和体积分别为________，________.

答案36π36π

解析底面中心与C′连线即为半径，设球的半径为R，则R2＝(eq\r(6))2＋(eq\r(3))2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝36π.

5．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(3)，则球O的体积等于________．

答案eq\f(9π,2)

解析由题意知，DC边的中点就是球心O，因为它到D，A，C，B四点的距离相等，

∴球的半径R＝eq\f(1,2)CD，又AB＝BC＝eq\r(3)，

∴AC＝eq\r(6)，∴CD＝eq\r(AC2＋AD2)＝3，

∴R＝eq\f(3,2)，∴V球O＝eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).

核心考向突破

考向一几何体的表面积

例1(1)(2024·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()

A．12eq\r(2)π B．12π

C．8eq\r(2)π D．10π

答案B

解析依据题意，可得截面是边长为2eq\r(2)的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是eq\r(2)的圆，且高为2eq\r(2)，所以其表面积为S＝2π(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故选B.

(2)(2024·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()

A．8＋4eq\r(2)＋2eq\r(5) B．6＋4eq\r(2)＋4eq\r(5)

C．6＋2eq\r(2)＋2eq