2024年高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2命题的四种形式讲义含解析湘教版选修2_1.docVIP

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1．1.2命题的四种形式

[读教材·填要点]

1．四种命题结构

2．四种命题的相互关系

3．四种命题的真假性

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种状况

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

(2)四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

[小问题·大思维]

1．命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？

提示：由四种命题间的关系可知a与d是一个命题．

2．假如一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题肯定为真命题吗？

提示：肯定为真命题．因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．

3．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种状况？

提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.

四种命题的概念

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：

(1)若α＋β＝eq\f(π,2)，则sinα＝cosβ；

(2)对随意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.

[自主解答]逆命题：若sinα＝cosβ，则α＋β＝eq\f(π,2).

否命题：若α＋β≠eq\f(π,2)，则sinα≠cosβ.

逆否命题：若sinα≠cosβ，则α＋β≠eq\f(π,2).

(2)逆命题：对随意非正数c，若有a≤b成立，则a≤b＋c.

否命题：对随意非正数c，若有ab＋c成立，则ab.

逆否命题：对随意非正数c，若有ab成立，则ab＋c.

四种命题的转换方法

(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)负数的平方是正数；

(2)假如一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面．

解：(1)原命题改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

(2)逆命题：假如一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：假如一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：假如一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

四种命题真假的推断

推断下列命题的真假，并说明理由．

(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

(2)“正三角形都相像”的逆命题；

(3)“若m0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

(4)“若x－eq\r(2)是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

[自主解答](1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题

(2)原命题的逆命题为“若两个三角形相像，则这两个三角形是正三角形”．假命题

(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程无实根，

∴判别式Δ＝1＋4m0.

∴m－eq\f(1,4)≤0.真命题

(4)原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－eq\r(2)不是有理数”．

∵x不是无理数，∴x是有理数．又eq\r(2)是无理数，

∴x－eq\r(2)是无理数，不是有理数．真命题

若本例(3)改为推断“若m0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？

解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，所以判别式Δ＝1＋4m0，则m－eq\f(1,4)，故m≤0，为真命题．

在推断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，干脆对原命题的真假进行推断；二是不干脆写出命题，而是依据命题之间的等价关系进行推断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．

2．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时推断它们的真假．

解：“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题；

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题；

否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题；

逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．

等价命题的应用

证明：已知函数f(x)是(－∞