2024-2025学年湖南省长沙市高二上册第一次月考数学检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期第一次月考数学检测试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数，则（????）

A． B． C．3 D．5

2．无论为何值，直线过定点（????）

A． B． C． D．

3．在平行四边形中，，，，则点的坐标为（????）

A． B． C． D．

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．直线关于对称的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

6．已知椭圆：的离心率为，则（????）

A． B．或 C．8或2 D．8

7．已知实数满足，则的范围是（????）

A． B． C． D．

8．已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（????）

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（????）

A．若圆关于直线对称，则

B．点到直线的距离的最大值为

C．存在两个不同的实数，使得直线与圆相切

D．存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为

10．已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（????）

A．曲线的方程为

B．曲线的方程为

C．过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为

D．曲线上的点到直线的距离的最大值为

11．在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（????）

A．与所成角的余弦值为

B．过，，三点的正方体的截面面积为3

C．当在线段上运动时，的最小值为3

D．若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则

13．直线的倾斜角的取值范围是.

14．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为.

??

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．已知两圆和．求：

(1)取何值时两圆外切？

(2)当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

16．在ΔABC中，内角的对边分别为.已知

（1）????求的值

（2）????若，求ΔABC的面积.

17．如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.

(1)求证：平面；

(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.

18．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

??

(1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数；

(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；

(3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明.

19．已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点.

(1)证明和均为定值;

(2)设线段的中点为，求的最大值；

(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.

1．B

【分析】按照复数的除法运算求出复数z的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.

【详解】.

.

故选：B.

2．A

【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点.

【详解】由得：，

由得

∴直线恒过定点.

故选：A.

3．A

【分析】由即可求解.

【详解】设，则，，

又，解得.

即.

故选：A.

4．A

【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.

【详解】因为，所以由，

，

故选：A

5．A

【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程.

【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，

则，整理可得：，，

即直线关于对称的直线方程为.

故选：A.

方法点睛：