湖南省长沙市四大名校2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

湖南省长沙市四大名校2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．设复数满足，则复数在复平面内对应的点在（????）

A．射线上 B．射线上

C．直线上 D．直线上

3．已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（????）

A．2 B． C． D．1

4．设，则（????）

A． B．

C． D．

5．数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（????）

A． B． C． D．

6．已知函数的最小正周期为，且函数为奇函数，则当时，曲线与的交点个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．设函数，当时，方程有且只有一个实根，则（????）

A．2 B．1 C． D．

8．在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（????）

A． B．2 C．3 D．

二、多选题

9．某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现次品的件数的一组样本数据：，则（????）

A．极差是4 B．众数等于平均数

C．方差是2 D．第25百分位数为12

10．设点是曲线上一点，曲线在点处的切线为，则（????）

A．，函数为奇函数

B．，函数有且仅有一个极小值点

C．当时，直线与两坐标轴围成的图形面积为8

D．当时，直线与直线和所围成的图形面积为8

11．某学习小组用曲线：和抛物线部分曲线围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于两点，点是坐标原点，点是或上的动点，下列说法正确的是（????）

??

A． B．

C． D．的最大值为

三、填空题

12．已知，若，则.

13．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率为.

14．已知，且，则的最大值是.

四、解答题

15．记的内角所对的边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，求的面积.

16．甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求：

(1)甲在每轮比赛中获胜的概率；

(2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率.

17．如图，在多面体中，的中点为.

(1)求证：四点共面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

18．已知函数和的图象在处有相同的切线.

(1)求实数和的值；

(2)求函数的极值；

(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值集合.

19．已知椭圆经过点，其右顶点为，上顶点为为坐标原点，且离心率为.

(1)设在点处的切线，其斜率为的斜率为，求的值；

(2)过在第一象限的点作椭圆的切线，分别与轴，轴交于点，且为线段的中点，记以点为中心，轴，轴为对称轴，且过点的椭圆为，依此类推，，，过椭圆在第一象限的点作椭圆的切线，分别与轴，轴交于点，，且为线段的中点，记以点为中心，轴，轴为对称轴，且过点，的椭圆为，由此得到一系列椭圆.

（i）求的方程；

（ii）过点作直线与椭圆分别交于，求证：.

（附：若为椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为：）

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

《湖南省长沙市四大名校2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

D

A

B

D

B

ABD

ACD

题号

11

答案

ACD

1．C

【分析】先求出A，B，再根据并集概念计算即可.

【详解】因为，由，解得，则，所以，

故选：C.

2．A

【分析】先根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出等式，最后化简等式得到与的关系，从而确定复数在复平面内对应的点的轨迹.

【详解】对于复数，，其共轭复数.

.

因，由，可得.

因为等式右边，所以，即.

对两边同时平方得，即.

两边同时开平方得，又因为，

所以复数在复平面内对应的点在射线上.

故选：A.

3．B

【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性