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上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，，且，则实数的值为.

2．已知且，若，，则.

3．若，则.

4．若幂函数是严格增函数，则实数.

5．函数的零点为.

6．已知正实数满足，则的最大值为.

7．若集合，则.

8．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是.

9．函数的最小值为.

10．已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是.

11．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则.

12．已知，若函数，恰有两个零点，则a的取值范围是．

二、单选题

13．已知且，则下列关系中恒成立的是（????）.

A． B． C． D．

14．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

15．若函数至少有一个零点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

16．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（??）

A． B．

C． D．

三、解答题

17．设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．

(1)若全集为R，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

18．设函数，其中．

(1)若有两个零点．求实数的取值范围；

(2)求在区间上的最值．

19．已知函数（是常数）．

(1)若，求函数的值域；

(2)若为奇函数，求实数的值，并证明的图像始终在的图像的下方．

20．已知函数．

(1)证明：函数是奇函数；

(2)用定义证明：函数在上是严格增函数；

(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．

21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.

（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；

（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；

（3）设函数是区间上的“平均值函数”，是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对.

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《上海市敬业中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

D

C

C

A

1．

【分析】由集合包含关系得到即可求解；

【详解】由题意可知，

解得：，

故答案为：

2．6

【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.

【详解】，同理：

∴

故答案为：6

【点睛】对数运算技巧：

(1)指数式与对数式互化；

(2)灵活应用对数的运算性质；

(3)逆用法则、公式；

(4)应用换底公式，化为同底结构．

3．8

【分析】结合分段函数解析式先求，再求结论.

【详解】因为，

所以，

所以.

故答案为：.

4．

【分析】根据幂函数的定义及函数的单调性求解即可.

【详解】因为是幂函数，

所以，

解得，

又因为是严格增函数

所以，

故答案为：

5．或；

【分析】将零点问题转化成方程求解即可；

【详解】当时，令，解得或舍去；

当时，令，结合，

所以函数零点为：或；

故答案为：或

6．/

【分析】由条件可得，结合二次函数性质求结论.

【详解】由已知，，

所以，，

所以，

所以当时（此时），取最大值，最大值为.

故答案为：.

7．；

【分析】根据对数函数的单调性即可求解.

【详解】由可得，解得，

故，

故答案为：

8．

【分析】根据函数解析式作出函数图象，求方程的解，结合图象确定的范围.

【详解】因为，

又，，

所以函数的图象为开口向下，对称轴为，过点的抛物线，

作函数的图象如下：

结合对称性可得，

因为函数在区间上的值域为，

所以，

所以的取值范围是.

故答案为：.

9．/

【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值.

【详解】,

令，则有，

当时，，所以的最小值为.

故答案为：.

10．

【解析】根据的单调性可得满足的不等式组，从而可求实数的取值范围.

【详解】在上是严格减函数，

故在为