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支持向量机SVM（下）

JerryLead

csxulijie@

2011年3月17日星期四

7核函数（Kernels）

考虑我们最初在“线性回归”中提出的问题，特征是房子的面积x，这里的x是实数，结果y是房子的价格。假设我们从样本点的分布中看到x和y符合3次曲线，那么我们希望使用x的三次多项式来逼近这些样本点。那么首先需要将特征x扩展到三维(x,x2,x3)，然后寻找特征和结果之间的模型。我们将这种特征变换称作特征映射（featuremapping）。映射函数称作?,在这个例子中

我们希望将得到的特征映射后的特征应用于SVM分类，而不是最初的特征。这样，我们需要将前面WTx+b公式中的内积从x(i),x，映射到φ(x(i)),φ(x)。

至于为什么需要映射后的特征而不是最初的特征来参与计算，上面提到的（为了更好地拟合）是其中一个原因，另外的一个重要原因是样例可能存在线性不可分的情况，而将特征映射到高维空间后，往往就可分了。（在《数据挖掘导论》Pang-NingTan等人著的《支持向量机》那一章有个很好的例子说明）

将核函数形式化定义，如果原始特征内积是x,z，映射后为φ(x),φ(z)，那么定义核函数（Kernel）为

K(x,z)=φ(x)Tφ(z)

到这里，我们可以得出结论，如果要实现该节开头的效果，只需先计算φ(x)，然后计算φ(x)Tφ(z)即可，然而这种计算方式是非常低效的。比如最初的特征是n维的，我们将其映射到n2维，然后再计算，这样需要O(n2)的时间。那么我们能不能想办法减少计算时间呢？

先看一个例子，假设x和z都是n维的，

K(x,z)=(xTz)2展开后，得

nn

i=1j=1

这个时候发现我们可以只计算原始特征x和z内积的平方（时间复杂度是O(n)），就等价与计算映射后特征的内积。也就是说我们不需要花O(n2)时间了。

现在看一下映射函数（n=3时），根据上面的公式，得到

也就是说核函数k(x,z)=(xTz)2只能在选择这样的?作为映射函数时才能够等价于映射后特征的内积。

再看一个核函数

对应的映射函数（n=3时）是

更一般地，核函数k(x,z)=(xTz+c)d对应的映射后特征维度为(nd)。（这个我一直

没有理解）。

由于计算的是内积，我们可以想到IR中的余弦相似度，如果x和z向量夹角越小，那么核函数值越大，反之，越小。因此，核函数值是φ(x)和φ(z)的相似度。

再看另外一个核函数

这时，如果x和z很相近（IIx一zII≈0），那么核函数值为1，如果x和z相差很大（IIx一zII0），那么核函数值约等于0。由于这个函数类似于高斯分布，因此称为高斯核函数，也叫做径向基函数(RadialBasisFunction简称RBF)。它能够把原始特征映射到无穷维。

既然高斯核函数能够比较x和z的相似度，并映射到0到1，回想logistic回归，sigmoid函数可以，因此还有sigmoid核函数等等。

下面有张图说明在低维线性不可分时，映射到高维后就可分了，使用高斯核函数。

来自EricXing的slides

注意，使用核函数后，怎么分类新来的样本呢？线性的时候我们使用SVM学习出w和b，新来样本x的话，我们使用WTx+b来判断，如果值大于等于1，那么是正类，小于等于是负类。在两者之间，认为无法确定。如果使用了核函数后，WTx+b就变成了WTφ(x)+b，是否先要找到φ(x)，然后再预测？答案肯定不是了，找φ(x)很麻烦，回想我们之前说过的

只需将x(i),x替换成k(x(i),x)，然后值的判断同上。

8核函数有效性判定

问题：给定一个函数K，我们能否使用K来替代计算φ(x)Tφ(z)，也就说，是否能够找出一个φ,使得对于所有的x和z，都有k(x,z)=φ(x)Tφ(z)？

比如给出了k(x,z)=(xTz)2，是否能够认为K是一个有效的核函数。

下面来解决这个问题，给定m个训练样本{x(1),x(2),…,x(m)}，每一个x(i)对应一个特征向量。那么，我们可以将任意两个x(i)和x(j)带入K中，计算得到kij=k(x(i),x(j))。I可以从1到m，j可以从1到m，这样可以计算出m*m的核函数矩阵（Kernel