4.4 数学归纳法（6大题型）精练（解析版）.docxVIP

4.4数学归纳法

【题型1对数学归纳法的理解】

1、（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（），在验证时，左端计算所得的式子是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】用数学归纳法证明：，

在验证时，把当代入，左端．故选：C．

2、（2022·上海·高二青浦高级中学校考期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（）

A．1B．C．D．

【答案】D

【解析】表达式的左边是从开始加到结束，

所以验证成立时等式左边计算所得项是.故选：D

3、（2023·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（）

A．假设正确，再推正确

B．假设正确，再推正确

C．假设正确，再推正确

D．假设正确，再推正确

【答案】B

【解析】根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，

所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；故选：B．

4、（2022·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）

A．时不等式成立B．时不等式成立

C．时不等式成立D．时不等式成立

【答案】B

【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，

因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．

5、（2022·高二课时练习）（多选）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（）

A．若对成立，则对所有正整数都成立

B．若对成立，则对所有正偶数都成立

C．若对成立，则对所有正奇数都成立

D．若对成立，则对所有自然数都成立

【答案】BC

【解析】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；

若对成立，则对所有正偶数都成立.故选：BC

【题型2数学归纳法的增项问题】

1、（2023·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】当时，左边，

当时，左边，

所以左边应添加因式为故选：B.

2、（2023·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因，则第一步应验证当时，是否成立.故选：B

3、（2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）用数学归纳法证明“，”，则当时，左端应在的基础上加上（）．

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】当时，等式左端为，

当时，等式左端为，

两式比较可知，增加的项为．故选：B．

4、（2023·上海·高二校考期中）用数学归纳法证明时，从“到”左边需要增加的代数式是

【答案】

【解析】把和代入等式左边分别可得：

①

②

两式作差得.

5、（2023·高全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为.

【答案】

【解析】当时，不等式为，

当时，不等式为.

【题型3用数学归纳法证明恒等式】

1、（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．

【答案】证明见解析

【解析】当时，左式，右式，显然等式成立，

假设当时，等式成立，即，

则当时，，

故当时，等式也成立，

所以成立.

2、（2022·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．

【答案】证明见解析

【解析】证明：①当时，，，等式成立；

②假设时，，

则时，

，

即时，等式成立，

综合①②可知，（，）．

3、（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）证明：记，

当时，则有，等式成立，

假设当，等式成立，即，

则，

这说明当时，等式成立，

故对任意的，.

（2）证明：设，

当时，，等式成立，

假设当时，等式成立，

即，

所以，

，

这说明当时，等式成立，

所以，对任意的，.

4、（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）当时，成立；

假设当时成立，

则

，

即成立，

故当时也成立.

综上有

（2）当时，成立；

假设当时成立，

则

，

故当时也成立.

故

【题型4用数学归纳法证明恒等式】

1、（2023·全国·高二随堂练习）设，，且，用数学归纳法证明：．

【答案】证明见解析

【解析】当时，左边，右边，

因为，所以，故左边右边，原不等式成立；

假设当时，不等式成立，