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近代时间序列分析选讲:

一.非线性时间序列

二.GARCH模型

三.多元时间序列

四.协整模型

第一局部非线性时间序列

非线性时间序列浅释

从线性到非线性自回归模型

线性时间序列定义的多样性

第二章.非线性时间序列模型

1.概述

2.非线性自回归模型

带条件异方差的自回归模型

两种可逆性

时间序列与伪随机数

马尔可夫链与AR模型

1.马尔可夫链

2.AR模型所确定的马尔可夫链

3.假设干例子

第四章.统计建模方法

1.概论

2.线性性检验

AR模型参数估计

AR模型阶数估计

第五章.实例和展望

1.实例

展望

非线性时间序列浅释

1.从线性到非线性自回归模型

时间序列{xt}是一串随机变量序列,

它有广泛的实际背景,特别是在经济与金融领域中尤其显著.关于它们的从线性与非线性概念,可从以下的例子入手作一浅释的说明.

考查一阶线性自回归模型---LAR(1):

xt=?xt-1+et,t=1,2,…(1.1)

其中{et}为i.i.d.序列，且Eet=0,Eet=?2?,而且et与{xt-1,xt-1,…}独立.反复使用(1.1)式的递推关系,就可得到

xt=?xt-1+et

=et+?xt-1

=et+?{et-1+?xt-2}

=et+?et-1+?2xt-2

=…

=et+?et-1+?2et-2

+…+?n-1et-n+1+?nxt-n.(1.2)

如果当n??时,

?nxt-n?0,(1.3)

{et+?et-1+?2et-2+…+?n-1et-n+1}

??j=0??jet-j.(1.4)

虽然保证以上的收敛是有条件的,而且要涉及到具体收敛的含义,但是,对以上的简单模型,不难相信,当|?|1时,(1.3)(1.4)式成立.于是,当|?|1时,模型LAR(1)有平稳解,且可表达为

xt=?j=0??jet-j.(1.5)

通过上面表达可见求LAR(1)模型的解有简便之优点,此其一.还有第二点,容易推广到LAR(p)模型.为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR(p):

xt=?1xt-1+?2xt-2+...+?pxt-p+et,

t=1,2,…(1.6)

其中{et}为i.i.d.序列，且Eet=0,Eet=?2?,而且et与{xt-1,xt-1,…}独立.虽然反复使用(1.6)式的递推式,仍然可得到(1.2)式的类似结果,但是,用扩张后的一阶多元AR模型求解时,可显示出与LAR(1)模型求解的神奇的相似.为此记

Xt=,U=,

A=,(1.7)

于是(1.6)式可写成如下的等价形式:

Xt=AXt-1+etU.(1.8)

反复使用此式的递推关系,形式上仿照(1.2)式可得

Xt=AXt-1+etU

=etU+et-1AU+A2xt-2

=?

=etU+et-1AU+et-2A2U+

+et-n+1An-1U+Anxt-n.

如果矩阵A的谱半径(A的特征值的最大模)?(A),满足如下条件

?(A)1,(1.10)

由上式可猜测到(1.8)式有如下的解:

Xt=?k=0?AkUet-k.(1.11)

其中向量Xt的第一分量xt形成的序列{xt},就是模型(1.6)式的解.由此不难看出,它有以下表达方式

xt=?k=0??ket-k.(1.11)

其中系数?k由(1.6)式中的?1,?2,...,?p确定,细节从略.不过,(1.11)式给了我们重要启发,即考虑形如

xt=?k=0??ket-k,?k=0??k2??,(1.12)

的时间序列类(其中系数?k能保证(1.12)式中的xt有定义).在文献中,这样的序列{xt}就被称为线性时间序列.

虽然以上给出了线性时间序列的定义,以下暂时不讨论什么是非线性时间序列,代之先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR(1),以便与LAR(1)模型进行比拟分析.首先写出NLAR(1)模型如下

xt=?(xt-1)+et,t=1,2,…(1.13)

其中{et}为i.i.d.序列，且Eet=0,Eet=?2?,而且et与{xt-1,