人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.4向量的数量积【教学设计】.doc

第

第PAGE1页共NUMPAGES8页

人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.4向量的数量积教学设计

课题

6.2.4平面向量的数量积

课型

新课型

课时

2课时

学习目标

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和运算．

3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯．

学习重点

平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角．

掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.

学习难点

平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质．

理解平面向量数量积的运算律.

学情分析

在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的概念及运算,但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便.如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用起来更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题.

核心知识

1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.

3.会计算平面向量的数量积．

教学内容及教师活动设计

（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）

教师个人复备

导入新知

我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示．那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？

前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？

【实际情境】观察小车的运动，讨论功的计算公式．

提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？

（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？

（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？

在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移（图6.2-18），那么力所做的功

，

其中是与的夹角．

预设互动回答：

力有做功，但是不能用W=FS，因为力F不在位移S的方向上；

对力F进行正交分解，垂直于位移方向的分力F2不做功，只有在位移方向的分力F1做功；

在位移方向的分力F1大小为，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小．

【设计意图】向量数量积概念不是凭空产生的，用人拉小车这一实例，让学生感受“向量乘以向量”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念．

因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念．

已知两个非零向量，（图6.2-19），是平面上的任意一点，作，．

则叫做向量与的夹角．

显然，当时，与同向；当时，与反向．

如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．

已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积（innerproduct）），记作，即．

规定：零向量与任一向量的数量积为0．

对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关．

应用新知

例9已知，，与的夹角，求．

解：．

【变式】已知平面向量，满足，且与的夹角为.求的值；

【答案】3；

【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算

【分析】根据数量积的定义代入计算即可得出结果；

【详解】由可得；

即可得.

例10设，，，求与的夹角．

解：由，得．因为，所以．

【变式】已知?ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（????）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、相等向量

【分析】利用向量的夹角定义直接得解.

【详解】如图，与的夹角为，

故选：C

如图6.2-20(1)，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影(project)，叫做向量在向量上的投影向量．

如图6.2-20(2)，我们可以在平面内任取一点，作，．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．

2.向量的投影

◆探究

如图6.2-20(2)，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？

显然，与共线，于是．

下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式．我们分为锐角、直角、钝角以及，等