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2024高考必考数学模拟试题含答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)处取得极值，则\(a\)的取值范围是：

A.\(a0\)

B.\(a0\)

C.\(a=0\)

D.\(a\neq0\)

答案：D

解析：函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)处取得极值，需满足\(f(x)=2ax+b\)在\(x=1\)处为零，即\(2a\cdot1+b=0\)，解得\(b=2a\)。此时\(a\neq0\)，否则函数退化为一次函数，无极值。

2.设集合\(A=\{x|x^24x+30\}\)，则\(A\)的元素个数是：

A.0

B.1

C.2

D.无限

答案：C

解析：解不等式\(x^24x+30\)，因式分解得\((x1)(x3)0\)，解得\(1x3\)，所以集合\(A=\{x|1x3\}\)，元素个数为2。

3.若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=2n^2+n\)，则\(a_3\)的值是：

A.7

B.9

C.11

D.13

答案：B

解析：由等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n1)d)\)，代入\(S_n=2n^2+n\)，得\(2n^2+n=\frac{n}{2}(2a_1+(n1)d)\)。令\(n=1\)，得\(a_1=3\)；令\(n=2\)，得\(a_1+a_2=10\)，解得\(a_2=7\)。故\(d=a_2a_1=4\)，所以\(a_3=a_2+d=7+4=11\)。

4.若复数\(z=3+4i\)的模为\(|z|\)，则\(|z|\)的值是：

A.5

B.7

C.9

D.25

答案：A

解析：复数\(z=3+4i\)的模\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。

二、填空题（每题5分，共20分）

5.若函数\(f(x)=\ln(x^21)\)的定义域为\(\________\)。

答案：\((\infty,1)\cup(1,+\infty)\)

解析：函数\(f(x)=\ln(x^21)\)的定义域需满足\(x^210\)，解得\(x1\)或\(x1\)。

6.设等比数列\(\{a_n\}\)的首项为2，公比为3，则\(a_5\)的值为\(\________\)。

答案：162

解析：等比数列的通项公式\(a_n=a_1\cdotr^{n1}\)，代入\(a_1=2\)，\(r=3\)，得\(a_5=2\cdot3^{51}=2\cdot3^4=2\cdot81=162\)。

7.若直线\(y=kx+b\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，则\(k\)的取值范围为\(\________\)。

答案：\(k\in(\infty,1]\cup[1,+\infty)\)

解析：直线\(y=kx+b\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，需满足判别式\(\Delta=0\)，即\((k^2+1)x^2+2kbx+b^21=0\)有唯一解，解得\(k^2=1\)，即\(k=\pm1\)。

8.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则\(\sin2\alpha\)的值为\(\________\)。

答案：\(\frac{1}{2}\)