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2025年高考必考数学模拟试题含答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，且顶点在\(x\)轴上，则下列哪个条件是必须满足的？

A.\(a0\)且\(b^24ac=0\)

B.\(a0\)且\(b^24ac=0\)

C.\(a0\)且\(b^24ac0\)

D.\(a0\)且\(b^24ac0\)

答案：A

解析：函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，需\(a0\)。顶点在\(x\)轴上，说明判别式\(b^24ac=0\)。

2.设\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，则\(\sin2\alpha\)的值为：

A.\(\frac{3}{4}\)

B.\(\frac{1}{4}\)

C.\(\frac{1}{4}\)

D.\(\frac{3}{4}\)

答案：A

解析：平方两边得\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\frac{1}{4}\)，即\(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{4}\)。由于\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，得\(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}\)，所以\(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}\)，即\(\sin2\alpha=\frac{3}{4}\)。

3.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=n^2+n\)，则\(a_5\)的值为：

A.11

B.10

C.9

D.8

答案：A

解析：\(a_n=S_nS_{n1}\)，所以\(a_5=S_5S_4=(5^2+5)(4^2+4)=25+5164=10\)。

4.若\(\log_2(x+1)+\log_2(x1)=3\)，则\(x\)的值为：

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：B

解析：\(\log_2[(x+1)(x1)]=3\)，即\(\log_2(x^21)=3\)，所以\(x^21=2^3=8\)，解得\(x=3\)或\(x=3\)。由于对数的定义域，\(x\)必须大于1，故\(x=3\)。

二、填空题（每题5分，共20分）

5.若\(\lim_{x\to2}\frac{x^24}{x2}=4\)，则\(a\)的值为_______。

答案：4

解析：\(\lim_{x\to2}\frac{x^24}{x2}=\lim_{x\to2}\frac{(x2)(x+2)}{x2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\)。

6.已知\(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\)，则\(\sin\theta\cos\theta\)的值为_______。

答案：\(\frac{1}{2}\)

解析：平方两边得\((\sin\theta+\cos\theta)^2=2\)，即\(\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=2\)。由于\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，得\(1+2\sin\theta\cos\theta=2\)，所以\(2\sin\theta\cos\theta=1\)，即\(\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\)。

7.若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S