2025 高考数学真题解读二十讲 教师版 第七讲 直线与圆（三大考向）.docxVIP

第七讲直线与圆（三大考向）

一：考情分析

命题解读

考向

考查统计

1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。

2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。

3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。

直线与圆的位置关系

2023·新高考Ⅰ卷，6

2022·新高考Ⅱ卷，152023·新高考Ⅱ卷，152024·新高考Ⅱ卷，10(多选题的一个选项中考查)

圆与圆的位置关系

2022·新高考Ⅰ卷，14

直线的斜率

2022·新高考Ⅱ卷，3

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。

三：试题精讲

一、多选题

【题1】(2024新高考Ⅱ卷·10)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()

A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=、15

C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个

【答案】ABD

【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|PB|=2先算出P的坐标，然后验证kPAkAB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，|PB|=|PF|，于是问题转化成|PA|=|PF|的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，

⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；

123

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高考真题练

一、单选题

【题2】(2023新高考Ⅰ卷·6)过点(0,-2(与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=()

61015C.D.B.A.1

6

10

15

C.

D.

B.

444

4

4

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为x2+y2-4x-1=0，即(x-2(2+y2=5，可得圆心C(2,0(，半径r=5，过点P(0,-2(作圆C的切线，切点为A,B，

因为|PC|=22+(-2(2=22，则|PA|=|PC|2-r2=3，

224224可得sin∠APC=5=10,cos∠APC=3=

224224

444，则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2×10×6=15

444，

cos∠APB