2025高考数学压轴题攻略篇 第02章 攻克压轴题的战术提升.docxVIP

第02章攻克压轴题的战术提升

攻克高考数学压轴题要从整体上进行谋划,上一章从10个方面对解题的战略构想作出了较为详尽的分析,这还是远远不够的,应当在解题战术上再提升到一个较高的层次,这是因为在具体解题过程中,解题者还会碰到许多难点需要攻克,需要在正确战术指引下打胜每一个局部的战斗,以小胜积大胜,最终以一场漂亮、完美的战役攻下难题.

解题战术是解题术硔究领域的核心内容.我曾在所著的一本著作中总结了36种重要的解题战术,而解题战术的实现又离不开学科方法.当然,本书作为一本专讲攻克压轴题的专著,没有必要作如此详尽的介绍.故仅从中选择10个方面展开,希望能在较短时间内提高学生解压轴题的能力.这10个方面有几个是通过拓展学科知识提升学生的解题能力.如第十一讲:几个重要的不等式,介绍了均值不等式,柯西不等式,排序不等式;第十二讲:递推数列求通项方法的拓展,介绍了特征根法与不动点法;第十三讲:巧用直线系.圆系方和解题;第十四讲:巧用圆锥曲线系方程解题,介绍了运用曲线族的方法提升求解解析几何题的能力,这里既有数学概念上的拓展,又介绍了一类有效的解题方法而第十五讲:构造思想与构造法,是攻克压轴题的锐利武器,其重要作用不言而喻;第十六讲:放缩技巧与放缩法;第十七讲:引参换元与参数方程;第十八讲:三角函数与向量方法;第十九讲:正难则反与反证法;第二十讲:数学归纳法.这10讲是攻克压轴题中应用最为广乏的学科方法,是克敌制胜的精良武器.

思维方法是解题的先导,学科方法与类型解证法是解题的具体实施,通常我们所说的解题方法与技巧往往是在正确的思维方法引导下，灵活运用学科方法,类型解证法与数学知识的结果.“数学三法是解数学题的思路,方法与技巧的源泉,总而言之,解决数学问题如同打仗一样,也应讲究点战略战术.

从思维过程分析,任何数学问题特别是综合题的解决都不是运用单一学科方法可以奏效的,常常是类比、归纳与直觉一起发挥作用,它们之间的关系是“剪不断,理还乱”,罗增儒教授把解题方法总结为“条件预示可知并启发解题手段,结论预告须知并诱导解题方法”.解题战术和方法实质就是沟通己知与末知,条件与结论的过程,借助杜甫的诗句野色更无山隔断,天光直与水相通”,这就是解题战术和方法的“功效”所产生的意境.

第十一讲几个重要的不等式

多元均值不等式

若,则,当且仅当时取等号,其中为的算术平均数，为的几何平均数.

柯西不等式

(1)二维形式的柯西不等式:若都是实数,则,当且仅当时取等号.

(2)一般形式的柯西不等式:若都是实数,则,当且仅当,或时取等号.

柯西不等式的向量形式及平面三角不等式

(1)柯西不等式的向量形式:设是两个向量,则,当且仅当或存在实数,使时取等号.

(2)平面三角不等式:设,则

排序不等式

设为两组实数,为的任意排列,那么,即反序和不大于乱序和,舌序和不大于硕序和.

当且仅当或时取等号.

一、例题精讲

【例1】证明柯西不等式.

【解题策略】

证明柯西不等式的方法很多,其中向是法与构造法是高中数学中的常见证法,介绍如下,有利于学生开阔解题思路、提升解题能力.

【证法1】

(向量法:将平面向量、空间向量推广到维向量)令

,则,由于1,故

.等号成立的条件是共线,即.

【证法2】

(构选二次函数法)若,则柯西不等式显然成立.若不全为零,

令.一方面,因为

另一方面,由恒成立

,此即柯西不等式.

由(1)式知等号成立的条件为.

【例2】

(1)有小于1的个正数,且.

【解题策略】

第问,每一个均为内的正数,由可联想到均值不等式,从而需要对原式中每一项进行放缩,得到乘积的形式,也可构选出柯西不等式的形式,利用柯西不等式来证明.第(2)问,同样可以运用上述两种证法,在运用均值不等式时首先?要对所证不等式通过拆分、构造、再合成的过程.

(1)【证法1】

(均值不等式法)

又

【证法2】

（柯西不等式法）由柯西不等式可得

又

又

(2)【证法1】

(均值不等式法)上述不等式相加，即得

【证法2】(柯西不等式法)由柯西不等式可得

.已知为正数，且，求证:

【解题策略】

运用排序不等式解题,苜先要指两个数组的大小关系明确出米,分清顺序和、乱序和及反序和,由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.

由顺序和乱序和得①

又由乱序和反序和得②

由①②两式得

二、发散训练

(1)已知,则的最小值为.

(2)设,且满足,则.

(1)求使直线和椭圆有公共点的的取值范围;

(2)已知直线与双曲线相切,求切线方程和切点坐标.

(1)设,求的最小值;

(2)已知为的一个排列,求证:.

第十二讲递推数列求通项方法的拓展

对于递推数列求通项类题型,虽然在数学教学中的要求不是很高,高考命题时难度也有控制,但是在原名牌大学自主招