2025北京清华附中高一（上）期末数学试卷含答案.docx

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2025北京清华附中高一（上）期末

数学

一、选择题

1.计算（）

A.1 B.2 C.3 D.6

2.设集合，则（）

A. B.

C. D.

3.已知，则（）

A. B. C. D.

4.要得到函数，只需将函数的图象（）

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

A. B.

C. D.

6.设，，，则下列不等关系成立的是（）

A. B. C. D.

7.已知，且，则的最小值是（）

A.2 B. C.4 D.8

8.如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

9.若函数是奇函数，使得取到最大值时的一个值为（）

A. B.0 C. D.

10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（）

A.若，则函数为奇函数 B.若，则函数有最小值

C.若，则函数为增函数 D.若，则函数存在零点

二、填空题

11.函数的定义域为___________.

12.已知单位向量夹角为，若，则实数______.

13.已知函数，且．

（1）时，函数的最小值为__________；

（2）若函数的值域为R，那么实数a的取值范围是__________．

14.中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置______分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感.

15.已知函数的定义域为，下列命题中

①若，则函数在上单调递增；

②若，则函数是奇函数；

③若，则函数是周期函数；

④若且，则函数在上单调递增，函数在上单调递减.

所有正确命题的序号是______.

三、解答题

16.已知二次函数，其中.

（1）若的最小值为，求的值；

（2）若有两个不同的零点，求证：.

17.已知函数.

（1）若，求实数的值；

（2）若，且，求的值；

（3）若函数在的最大值与最小值之和为1，求实数的值.

18.已知函数，且在区间上单调.请在下面三个条件中再选两个，回答下面两个问题：

①；②关于点对称；③关于对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若（1）中所求在上有唯一零点，求实数的取值范围.

19.2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为.

（1）当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度；

（2）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比.（两问结果均保留一位小数，参考数据：）

20.已知函数.

（1）若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；

（2）若函数在上的值域为，求的取值范围.

21.设，集合含有个元素，若存在三个元集合满足如下两个条件，则称为三分集合.

①；

②元素可分别排列为有序数组及，使得对，均有，

特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.

如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数.

（1）请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：；

（2）求出大于1的最小完美三分数；

（3）请判断是否存在无穷多个完美三分数？若存在，请说明理由；若不存在，则求出最大的完美三分数.

参考答案

一、选择题

1.【答案】C

【分析】根据对数运算法则和幂的定义计算．

【详解】，

故选：C．

2.【答案】B

【分析】解不等式确定两个集合中的元素，再由交集定义计算．

【详解】由已知，，

所以，