数学-2025年山西中考考前最后一课（数学）3.pdfVIP

（法二：连接AC，证△ABC∽△QBP，得，，∴CQ＝BQ﹣BC＝）．

30．（2025•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与

⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则

称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．

（1）如图，⊙O的半径为1，点C（0，2）．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”

①在P（﹣1，0），P（，）这两个点中，点A可以与点重合；

12

②点A的横坐标的最小值为；

（2）⊙O的半径为1，点A（1，0），点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等

边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；

（3）⊙O的半径为r，直线y＝x与⊙O在第一象限的交点为A，点C（4，0）．若平面直角坐标系xOy

中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值

范围．

【答案】（1）①P；②﹣；（2）m的取值范围为1≤m＜；（3）4（﹣1）＜r≤2或r＞4．

2

【解析】解：（1）如图1，

当点A在y轴右侧时，过点C作⊙O的切线CA，交⊙O于A，连接OA，

则OA＝1，OC＝2，

则AC＝，

过点A作AH⊥y轴于H，

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则S△AOC＝AC•OA＝OC•AH，

∴AH＝＝＝，

∴0≤x≤，

A

当点A在y轴左侧时，由对称性得，﹣≤x＜0，

A

即，﹣≤x≤，

A

①∵点P的横坐标为﹣1，

1

而﹣1＜﹣，

∴点A不能与点P重合，

1

∵点P的横坐标为，

2

而＜，

∴点A能与点P重合，

2

故答案为：P；

2

②点A的横坐标的最小值为﹣，

故答案为：﹣；

（2）如图2，

∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，

∴线段AC和AB除过点A为不能⊙O有交点，

当线段AC除点A外不与⊙O有交点，

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当AC与⊙O相切时，

∴AC⊥x轴，此时，点A的横坐标为1，

当线段AB除点A外不与⊙O有交点，

即点B在（﹣1，0）处，记作点B，

∴OB＝1，

∵A（1，0），

∴OA＝1，

∴OA＝OB，

∴∠OBA＝45°，

∵△ABC为等边三角形，

∴BC＝AB，∠ABC＝60°，

在Rt△AOB中，AB＝，

∴BC＝，

过点C作CG⊥y轴于G，

∴∠BGC＝90°，∠CBG＝1