现代控制理论-稳定性.pptVIP

又由于时，，因此系统在平衡点(0，0)是大范围渐近稳定的。将系统方程代人上式得解:很明显，原点是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数为则（V(X)为正定）定理3.2设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数，它有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的；对任意和任意在时不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有时，，则为大范围渐近稳定。式中表示时从出发的解轨迹。由于不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面相切。然而,由于对于任意和任意在时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(在切点上），而必须运动到原点.例3.2设系统方程为01解:显然，原点(0，0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数，即03当时，05确定系统平衡状态的稳定性。02（V(X)为正定）04因此是负半定的。06下面我们进一步分析的定号性，即当1时，是否恒等于零。由于2恒等于零，必需要求在时恒等于零，而恒等于零又必需要求恒等于零。但从状态方程来看，在时，要使和，必需满足等于零的条件。这表明只可能在原点处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于时,有，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。3所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。若在例中选取如下正定函数为李氏函数，即而且当时，有则是负定的。由以上分析看出，选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同的结果。上面第二种情况下的选择，消除了进一步对判别的必要性。01定理3.3设系统方程为05则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的。但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。03是正定的；02式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：04是负半定的，但在某一X值恒为零。由上式可见，在任意X值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的．但不是渐近稳定的。解显然，原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数，即例3.3系统方程为试确定系统平衡状态的稳定性。则定理3.4设系统的状态方程为01式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：02在原点的某一领域内是正定的；03在同样的领域内是正定的；04则在原点处的平衡状态是不稳定的。05例3.4设时变系统的状态方程为显然坐标原点为其平衡状态。试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。0102解可以找一个函数为01显然，为一标量函数，在平面上的第一、三象限内，有是正定的。在此区域内取的全导数得02所以当时，因此根据定理4可知，系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。03返回04由李亚普诺夫稳定理论可知，在寻求函数时，要使和具有定号性，两者的符号相反，表示稳定；两者的符号相同，表示不稳定；或者希望或中至少有一个是定号的，才能对稳定性进行判断。1因此在构造函数时，或者先试构造出是正定的，然后考察的符号；或者先给出是负定的，然后确定是否为正定；或者使为正定，从系统稳定性要求出发，推导出对于系统的限制。由上一节例题可见，对于某些简单系统，特别是线性系统或近似线性系统，通常可取为X的二次型。23.4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析线性定常系统的稳定性分析设线性定常系统为(3.2)式中，为维状态向量，是X常系数矩阵，假设是非奇异矩阵。因为判定系统的稳定性，主要取决自由响应，所以令控制作用=0，由系统状态方程知，系统唯一的平衡状态是原点。对于式