江西省景德镇市2025届高三上学期第二次质检数学试题.docx

景德镇市2025届高三第二次质检试题

数学

命题景德镇二中马小宇昌江一中占星景德镇十六中余倩

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数，则复数虚部为（）

A. B. C. D.

3.命题：，的否定是（）

A.， B.，

C.， D.，

4.已知，则（）

A. B. C. D.

5.已知圆，且圆外有一点，过点作圆两条切线，且切点分别为点和点，则（）

A. B. C. D.

6.正项等比数列中，是其前项和，若，，则（）

A.20 B.21 C.24 D.28

7.定义在上的函数满足，为偶函数，，则（）

A1013 B.1014 C.2025 D.2026

8.古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列说法正确的有（）

A.二项式展开式中的常数项为24

B.

C.已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为8.5

D.设是随机变量，若，则

10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率为，且到其渐近线的距离为，直线交于，两点，则下列说法正确的是（）

A.的渐近线方程为

B.若为的重心，则

C.若在线段上，且，则

D.若过点，且外接圆的圆心在轴上，则外接圆半径为

11.在矩形中，，，将沿折叠至，则下列选项正确的是（）

A.直线与平面所成角的最大值为

B.存在点，使得

C.当时，二面角的大小为

D.当平面平面时，三棱锥外接球被平面所截得到的截面图形的面积为

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知向量，满足，，，则______．

13.小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有______种．（用数字作答）

14.已知二次函数与一次函数，若，不等式在上总存在实数解，则的取值范围为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，．

（1）求证：；

（2）若，求．

16.如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值．

17.已知抛物线的焦点为，为上的一个动点（不与坐标原点重合），设．

（1）求的方程；

（2）过作的切线，过作的垂线交于点，求的最小值．

18.人工智能（英语：ArtificialIntelligence，缩写为AI）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表：

关注

不关注

合计

男生

55

60

女生

合计

75

（1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？

（2）为了激发同学们对AI的关注，某班级举办了一次AI闯关PK，甲，乙两名选手参加PK赛，比赛共有道题目，其中甲，乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．

（ⅰ）已知，，且已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲，乙得分之差的绝对值为，求的分布列及数学期望；

（ⅱ）由于甲选手较为自负，甲决定放弃第一题的作答．若最终乙获胜的概率为，求的值．

附：

0.1

0.05

0.01

0.001

k

2.706

3.841

6.635

10.828

19.对于函数与直线，定义：当时，为函数与直线在区间上的偏差，取最小值时，称为函数在区间上的最佳逼近直线．已知函数，，其中，．

（1）当时，函数的两个零点分别为，直线，求在区间上的的值；

（2）求证：对于任