专题06解三角形重难点题型专训（11大题型15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升（2020）（原卷版）.docx

专题06解三角形重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）

题型一正弦定理及辨析

题型二余弦定理及辨析

题型三正弦定理解三角形

题型四余弦定理解三角形

题型五正弦定理判定三角形解的个数

题型六正弦定理求外接圆半径

题型七射影公式

题型八正弦定理边角互化的应用

题型九三角形面积公式及其应用

题型十余弦定理边角互化的应用

题型十一三角形几何的综合应用

知识点01正弦定理

知识点02余弦定理

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积。若三边为a，b，c，三角为A，B，C，则余弦定理表述为：

其中c2=a2+b2是c角的对边，而a和b是c角的邻边。

知识点03三角形的面积公式

已知三角形的两边及其夹角，可以通过公式来计算三角形的面积，其中a、b是两边的长度，C是它们的夹角.

若已知三角形的三边长度a、b、c，则可以使用海伦公式来求面积，先计算半周长，然后面积.

知识点04射影公式

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；

设Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，射影定理如下:

【经典例题一正弦定理及辨析】

【例1】（2024高一下·上海虹口·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（???）

A．1:2:3 B．1:2: C．1::2 D．2::1

1．（2324高一下·上海宝山·阶段练习）已知，在三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且b＝7，则a＋c＝（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

2．（2324高一下·上海静安·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是.

3．（2425高一下·上海奉贤·课前预习）在中，，在锐角三角形或钝角三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？

【经典例题二余弦定理及辨析】

【例2】（2024高一下·上海·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（????）

A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间

1．（2324高一下·上海徐汇·阶段练习）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（????）

A． B． C． D．

2．（2324高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为.

3．（2324高一下·上海虹口·期末）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且．

(1)证明：；

(2)若△ABC的面积S＝2，，求角C．

【经典例题三正弦定理解三角形】

【例3】（2425高一下·上海闵行·阶段练习）在中，为边的中点，若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

1．（2425高一下·上海长宁·阶段练习）如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（????）米.

A． B．

C． D．

2．（2425高一下·上海·阶段练习）设是满足以下条件的的集合：对任意一个单位圆，点，，至少有一个在圆外，已知是直角三角形，且不是中的元素，则周长的取值范围是．

3．（2324高一下·上海崇明·阶段练习）在中，，且，，为内一点，．

(1)若，求的长；

(2)若，求．

【经典例题四余弦定理解三角形】

【例4】（2025·上海青浦·一模）如图，已知，，，，则（????）

??

A． B． C．或 D．

1．（2425高一下·上海杨浦·阶段练习）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（????）

A． B．

C． D．

2．（2025高一下·全国·专题练习）在中，是边的中点，若，，，则．

3．（2425高一下·上海长宁·阶段练习）在中，已知，

(1)求；

(2)的周长为9，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．

①；②；③．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

【经典例题五正弦定理判定三角形解的个数】

【例5】（2324高一下·上海嘉定·开学