专题17：平面向量-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（解析版）.docx

专题17：平面向量

精讲温故知新

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

例1：1．（2021·云南昆明·模拟预测（文））下列有关四边形的形状判断错误的是（???????）

A．若，则四边形为平行四边形

B．若，则四边形为梯形

C．若，且，则四边形为菱形

D．若，且，则四边形为正方形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量共线、相等的知识确定正确答案.

【详解】

A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.

B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.

C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.

D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.

故选：D

2.如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：

(1)与相等的向量有哪些？

(2)的相反向量有哪些？

(3)与的模相等的向量有哪些？

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.

(1)由相等向量定义知：与相等的向量有.

(2)由相反向量定义知：的相反向量有.

(3)由向量模长定义知：与的模相等的向量有.

举一反三

1．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（???????）

A．零向量没有大小 B．零向量没有方向

C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线

【答案】D

【解析】

【分析】

根据零向量的定义和性质即可判断.

【详解】

根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；

两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；

零向量与任意向量共线，D正确．

故选：D.

2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（???????）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】

【分析】

先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得．

【详解】

易知是与垂直的向量，，

所以与平行的单位向量为或，

故选：D．

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

例2：1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）化简（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量加法的运算法则化简即可.

【详解】

.

故选：B

2，如图，已知向量和向量，用三角形法则作出－＋.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

根据向量加法和减法法则即可作图.

【详解】

作法：作向量＝，向量＝，则向量＝－；作向量＝，则＝－＋.

举一反三

1.化简：=______．

【答案】

【解析】

【分析】

由向量的加减法法则计算．

【详解】

．

故答案为：．

2．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测）化简：___________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用平面向量的线性运算求解.

【详解】

解：，

，

，

故答案为：

3.（2022·贵州·模拟预测（理））在中，，且，则（???????）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可得，即得.

【详解】

∵，

∴，

∴.

故选：B.

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

例3：2．（2021·山西临汾·一模（理））已知，，，则（）

A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算得到，从而可以获得答案.

【详解】

，又∵与有公共点B，∴A