专题23 导数综合题-备战2024年浙江新高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

专题23导数综合题

1．（2023?新高考Ⅰ）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，．

【答案】见解析

【详解】（1），

则，

①当时，恒成立，在上单调递减，

②当时，令得，，

当时，，单调递减；当，时，，单调递增，

综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．

证明：（2）由（1）可知，当时，，

要证，只需证，

只需证，

设（a），，

则（a），

令（a）得，，

当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，

所以（a），

即（a），

所以得证，

即得证．

2．（2022?新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．

（1）求；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【答案】见解析

【详解】（1）定义域为，

，

，

若，

则，无最小值，

故，

当时，，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

故，

的定义域为，

，

，

令，解得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在，上单调递增，

故，

函数和有相同的最小值

，

，

化为，

令，，

则，

，

恒成立，

在上单调递增，

又（1），

（a）（1），仅有此一解，

．

（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，

函数在上单调递减，在上单调递增，

设，

则，当时，，

所以函数在上单调递增，因为（1），

所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，

所以时，，

因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，

所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，，

此时可作出函数和的大致图象，

由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，

直线必经过点，，即，

因为，所以，即，

令得，解得或，由，得，

令得，解得或，由，得，

所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，

从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，，

因为，所以，

所以，，成等差数列．

存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

3．（2021?新高考Ⅰ）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．

【答案】见解析

【详解】（1）解：由函数的解析式可得，

，，单调递增，

，，单调递减，

则在单调递增，在单调递减．

（2）证明：由，得，

即，

由（1）在单调递增，在单调递减，

所以（1），且（e），

令，，

则，为的两根，其中．

不妨令，，则，

先证，即证，即证，

令，

则在单调递减，

所以（1），

故函数在单调递增，

（1）．，，得证．

同理，要证，

（法一）即证，

根据（1）中单调性，

即证，

令，，

则，令，

，，单调递增，

，，，单调递减，

又时，，且（e），

故，

（1）（1），

恒成立，

得证，

（法二），，

又，故，，

故，，

令，，，

在上，，单调递增，

所以（e），

即，所以，得证，

则．

4．（2023?杭州二模）已知函数．

（1）讨论函数零点个数；

（2）若恒成立，求的取值范围．

【答案】见解析

【详解】（1）令函数，得，其中，

设，则，

令，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以时，取得极小值，也是最小值，

所以；

又因为时，，

所以时，，画出函数的图象，如图所示：

所以，当或时，无零点；

当或时，有1个零点；

当时，有2个零点．

（2）时，不等式化为，不等式恒成立，满足题意；

当时，由，可得，则，

所以，所以不等式化为，即恒成立，

设，，则，令，解得，

所以时，，单调递减；时，，单调递增；

所以时，取到极小值，也是最小值，所以（1）；

所以当时，，即恒成立，即满足题意；

当时，由（1）知，在上单调递增，

又，（a），所以存在，使得；

①当时，，即，

设，则，所以在上单调递减，

所以当时，；

②当，时，，即，设，则，

设，，，则，

设，，，则，

所以在，上单调递增，所以，

所以，所以在，上单调递增；

所以当，时，，

又因为时，，

所以当时，，，解得，

由此知，，在上单调递增，此时，

所以的取值范围是．

5．（2023?宁波一模）已知函数，，且，（1）．

（1）若，函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）证明：对于任意实数，（1）．参考数据：．

【答案】见解析

【详解】时，，

由题知对任意恒成立，

因为在上单调递增，

则，得，

又，（1），得，

综上，，即实数的取值范围是，．

（2）证明：法

由题，（1），则，

而，显然在上单调递增，

，

（1），

由零点存在定理知存在唯一使，，

所以在单调递减，在，单调递增，

所以，

，

（1），

所以（1）（1）

，

即，单调递减，

又，

故，又，故，

则，

命题得证．

法

由题，（1），

则，

而，显然在上单调递增，

，

，

由零