高数课件四章高等数学上.pptx

主讲教师：贺慧霞北京航空航天大学数学与系统科学学院高等数学（上）

一、有理函数的积分二、三角函数有理表达式的积分三、简单无理函数的积分第十九讲几种特殊类型的函数积分

一、有理函数的积分有理函数.两个多项式的商表示的函数称之为

假定分子与分母之间没有公因式有理函数是真分式；有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例

代数基本定理：每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积.难点将有理函数化为部分分式之和.

（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为

（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为

说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令

则记

三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.真分式化为部分分式之和的待定系数法

例1

代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2

例3求积分解

例4整理得

例5求积分解

例6求积分解令

三角有理式：是由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为二、三角函数有理式的积分

令（万能置换公式）

例7求积分解由万能置换公式

例8求积分解一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。

例9求积分解1

解2修改万能置换公式,令

解3可以不用万能置换公式.结论比较以上两种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.

例10求积分解

讨论类型解决方法作代换去掉根号.例11求积分解令三、简单无理函数的积分

例9求积分解

例10求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.

讨论类型解决方法作代换去掉根号.例11求积分解令三、简单无理函数的积分

例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.

简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）小结

例这类不定积分该如何表示？说明初等函数在其定义区间内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.

习题4.41（1、3、5），2（2、4、6）。

本讲课程结束北京航空航天大学数学与系统科学学院