专题34：空间点、直线、平面之间的位置关系-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（解析版）_1.docx

专题34：空间点、直线、平面之间的位置关系

精讲温故知新

一.平面基本性质即三条公理

公理1

公理2

公理3

图形语言

文字语言

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

符号语言

作用

判断线在面内

确定一个平面

证明多点共线

公理2的三条推论：

推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

二．直线与直线的位置关系

共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）

1异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。

2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。

3.空间两条异面直线的画法。

4．异面直线所成的角：

将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4个，两对对顶角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应该是那一个角）。

如果两条异面直线夹角等于90°，我们说两条直线垂直

三．直线与平面的位置关系有三种情况：

在平面内——有无数个公共点．符号aα

相交——有且只有一个公共点符号a∩α=A

平行——没有公共点符号a∥α

说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

平面与平面的位置关系有二种情况：

平面相交：

平面平行：

等角定理

如果空间中两个角的两边分别对应平行，这两个角相等或互补

题型一：平面

例1：（2007·重庆·高考真题（理））若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，

则这三个平面把空间分成

A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：画出图形，用三线表示三个平面，结合图形进行分析．

解：可用三线a，b，c表示三个平面，

其截面如图，将空间分成7个部分，

故选C．

举一反三

（2022·安徽马鞍山·一模（理））1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，.设点C的坐标为，当最大时，（???????）

A．2ab B．ab C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可知，分别表示出，然后利用两角差的正切公式表示出，再结合基本不等式，即可求得结果.

【详解】

由题意可知时锐角，且,

而，

所以，

而，当且仅当，即时取等号，

所以当时，，此时最大，

故选：D.

题型二：点、线确定平面数量问题

例2：（2021·上海市大同中学三模）下列命题正确的是（??????????）

A．三点确定一个平面

B．三条相交直线确定一个平面

C．对于直线、、，若，，则

D．对于直线、、，若，，则

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面的性质可判定AB，根据平行线间的传递性可判定C，根据空间直线的垂直关系可判定D.

【详解】

对A，不在一条直线上的三点确定一个平面，故A错误；

对B，如正方体一个顶点出发的三条棱所在直线确定三个平面，故B错误；

对C，根据空间中平行线间的传递性可得若，，则，故C正确；

对D，若，，则相交、平行或异面，故D错误.

故选：C.

举一反三

（2021·浙江·模拟预测）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点?，过直线做平面，使得点?到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（???????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【答案】C

【解析】

分情况讨论可得出.

【详解】

（1）如图，当直线与异面时，则只有一种情况；

（2）当直线与平行时，则有无数种情况，平面可以绕着转动；

（3）如图，当过线段的中垂面时，有两种情况.

故选：C.

题型三：空间中点、线共面问题

例3：（2009·湖南·高考真题（文））平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为?????

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【详解】

如图，用列举法知合要求的棱为：

、、、、故选C．

举一反三

（2022·北京东城·三模