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考研数学真题卷及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}等于：

A.0

B.1

C.f(0)

D.不存在

2.设矩阵A为3\times3矩阵，且|A|=2，则|2A|等于：

A.4

B.8

C.16

D.32

3.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X\leq1)约等于：

A.0.5

B.0.68

C.0.84

D.0.95

4.设级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}：

A.一定收敛

B.一定发散

C.可能收敛也可能发散

D.无法判断

二、填空题（每题5分，共20分）

5.设\lim_{x\to2}\frac{f(x)f(2)}{x2}=3，则f(2)=

6.设矩阵A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}，则A的特征值为

7.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=2，D(X)=1，则n=

8.设级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}的和为S，则S=

三、判断题（每题5分，共20分）

9.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内一定可导（）

10.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值一定为实数（）

11.设随机变量X和Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)（）

12.若级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n绝对收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2也一定收敛（）

四、解答题（每题15分，共60分）

13.设函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的极值点和拐点

14.设矩阵A=\begin{pmatrix}21\\43\end{pmatrix}，求A的逆矩阵

15.设随机变量X服从指数分布，参数为\lambda，求E(X^2)

16.设级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)^2}，判断其收敛性，并求其和

答案及详解

一、选择题

1.C

解析：根据导数的定义，f(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)f(0)}{x0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}

2.C

解析：对于矩阵A，|kA|=k^n|A|，其中n为矩阵的阶数因此，|2A|=2^3|A|=8\times2=16

3.C

解析：标准正态分布表中，P(X\leq1)\approx0.8413，故选C

4.C

解析：根据级数的性质，若\sum_{n=1}^{\infty}a_n收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}可能收敛也可能发散，如a_n=\frac{(1)^n}{\sqrt{n}}时，前者收敛，后者发散

二、填空题

5.3

解析：根据导数的定义，f(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)f(2)}{x2}=3

6.5和3

解析：矩阵A的特征多项式为\det(A\lambdaI)=\det\begin{pmatrix}1\lambda2\\34\lambda\end{pmatrix}=(1\lambda)(4\lambda)6=\lambda^25\lambda3，解得\lambda=5和\lambda=3

7.4

解析：根据二项分布的性质，E(X)=np=2，D(X)=np(1p)=1，解得n=4，p=\frac{