矩形截面杆、薄壁杆的扭转.ppt

关于矩形截面杆、薄壁杆的扭转第1页，共27页，星期日，2025年，2月5日矩形截面杆的扭转柱形杆截面的扭转应力函数F(x,y)要满足的条件：1、泊松方程：(在柱形杆横截面所组成区域R内)。2、边界条件：（在横截面的周界C上）。对于矩形截面杆件的扭转问题，能否像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为其横截面的周界方程？显然这个应力函数虽然满足边界条件，但不满足泊松方程。由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。答：不能。假设扭转应力函数为第2页，共27页，星期日，2025年，2月5日一狭长矩形截面杆的扭转设矩形截面的边长为a和b。若a/b的值很大(图1示)，则称为狭长矩形。由薄膜比拟法可以推断，应力函数F在横截面的绝大部分上几乎与坐标x无关，于是有yaxbo则变为常微分方程图1第3页，共27页，星期日，2025年，2月5日而边界条件为此时,方程的解为代入于是得(1-1)(1-2)(1-3)第4页，共27页，星期日，2025年，2月5日由式(1-1)求得应力分量(1-4)这个应力表达式除在狭长矩形截面的短边附近外,对截面的大部分区域都是正确的。由薄膜比拟法可知，最大剪应力发生在矩形截面的长边上，即，其大小为(1-5)第5页，共27页，星期日，2025年，2月5日二任意边长比的矩形截面杆的扭转在狭长矩形截面扭杆应力函数(1-1)的基础上，加上修正项F1，即(1-6)函数F应满足方程，将式(1-6)代入，得到F1满足方程(1-7)另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件(1-8)第6页，共27页，星期日，2025年，2月5日所以，修正函数F1的边界条件为(1-9)设(1-10)将(1-10)代入(1-7)中，有由此得方程(1-11)(1-12)(1-13)其中，为任意常数。第7页，共27页，星期日，2025年，2月5日解之得方程(1-12)和(1-13)的通解根据薄膜比拟法，应力函数为坐标x和y的偶函数。所以(1-14)由边界条件(1-9)的第二式得(1-15)由此第8页，共27页，星期日，2025年，2月5日代入式(1-15),并作如下级数由边界条件(1-9)的第一式,确定其中的系数An等式两边同时乘以，并在区间(-b/2,b/2)积分,得代入式(1-16),得(1-16)第9页，共27页，星期日，2025年，2月5日得到应力函数(1-17)由式(1-2),可求得由此得(1-18)(1-19)第10页，共27页，星期日，2025年，2月5日由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长边的中点,其值为(2-20)将式(1-19)和式(1-20)分别写成(2-21)(2-22)第11页，共27页，星期日，2025年，2月5日其中和都是仅与比值有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下：由表可见，对于很狭长矩形截面的扭杆，很大，则和都趋近于1/3,这时式(2-21)和(2-22)分别简化为式(1-3)和(1-5)。图2第12页，共27页，星期日，2025年，2月5日薄壁杆的扭转

实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭长矩形组成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭长矩形具有相同的长度和宽度，则两个扭杆的扭矩及其横截面剪应力没有多大差别。一开口薄壁杆件的扭转图3a1a2a1a1a3a2a1a3第13页，共27页，星期日，2025年，2月5日设及分别表示扭杆横截面的第i个狭矩形的长度和宽度，Ti表示该矩形截面上承受的扭矩，T表示整个横截面上的扭矩，?i代表该矩形长边中点附近的剪应力，为单位长度扭转角。则由狭长矩形的结果，得(2-1)(2-2)由式(2-1)得(2-3)这个横截面上的扭转为(2-4)第14页，共27页，星期日，2025年，2月5日由式(2-3)和式(2-4)消去,得代回式(2-3)和式(2-4),我们得到值得注意的是：由上述公式给出的狭矩形长边中点的剪应力已相当精确，然而，由于应力集中的存在，两个狭矩形的连接处，可能存在远大于此的局部剪应力。