北京市西城区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷.docx

北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷

高二数学

2025.1

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知直线经过两点，那么直线的斜率为（）

A B.

C. D.

2.双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

3.已知椭圆一个焦点与抛物线（）的焦点重合，则等于（）

A. B. C. D.

4.在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（）

A. B. C. D.

5.的展开式中的系数为（）

A. B. C. D.

6.正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

7.从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（）

A.6 B.8 C.10 D.12

8.已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（）

A. B. C. D.

10.在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（）

A.椭圆一部分 B.线段

C.圆的一部分 D.抛物线的一部分

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知直线与垂直，那么_____.

12.已知，则_____.

13.某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为_____cm.

14.已知曲线与轴交点为，与抛物线交于、两点，则_____，的面积为_____.

15.已知是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为，给出下列四个结论：

①；

②设点，则直线的斜率的最大值为；

③，；

④的面积小于.

其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜.

（1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？

（2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值.

17.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求点到平面的距离.

18.已知圆经过点，，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）若圆与直线交于两点，

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值.

19.已知椭圆左顶点为，右顶点为，点在椭圆上（与点、不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点.

（1）求椭圆的短轴长和离心率；

（2）若线段的中点为，求点坐标.

20.如图，在四棱锥中，，，，，，为的中点，为中点.

（1）求证：；

（2）设平面与平面的交线为，

（ⅰ）求二面角的余弦值；

（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值.

21.已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为.是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.