高中数学提升考点17 利用导数研究函数的极值和最值10类常见考点全归纳（112题）（原卷版）.docxVIP

考点17利用导数研究函数的极值和最值10类常见考点全归纳

（精选112题）

考点一知图判断函数极值与极值点

考点二求函数的极值与极值点

（一）不含参

（二）含参

考点三由极值求参数的值或范围

考点四由极值点求参数的值或范围

考点五利用极值解决函数的零点问题

考点六求函数的最值

（一）不含参

（二）含参

考点七由函数的最值求参数问题

考点八函数的单调性、极值与最值的综合应用

考点九不等式恒成立与存在性问题

考点十利用导数解决实际问题

知识点1、函数的极值

一般地，对于函数，

（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.

（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．

（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.

知识点2、函数的最大（小）值

一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

知识点3、函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；

（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；

（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

1.函数的极值

(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的必要条件.可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：

①f′(x0)＝0；

②在x＝x0附近的左侧f′(x0)0(0)，右侧f′(x0)0(0).

(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值.

2.知图判断函数极值

由导函数图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：①由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；②由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点.③要特别注意导函数图象在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．

3.函数极值和极值点的求解步骤

(1)确定函数的定义域．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．

(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．

注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

③原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．

④f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1x0x2时，f(x1)·f(x2)0，才可确定f(x)在x＝x0处取得极值．

4.已知函数的极