高三一轮复习教案19等差数列教师版.docxVIP

等差数列

知识梳理

1.定义：〔d为常数〕〔〕；

2．等差数列通项公式：

，首项:，公差:d，末项:

推广：．从而；

3．等差中项

〔1〕如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

〔2〕等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

〔其中A、B是常数〕〔当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0〕

5．等差数列的判定方法

〔1〕定义法：假设或(常数)是等差数列．

〔2〕等差中项：数列是等差数列．

〔3〕数列是等差数列〔其中是常数〕。

〔4〕数列是等差数列,〔其中A、B是常数〕。

6．等差数列的证明方法

定义法：假设或(常数)是等差数列．

7.提醒：〔1〕等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

〔2〕通常把题中条件转化成只含和的等式！

8.等差数列的性质：

〔1〕假设公差，那么为递增等差数列，假设公差，那么为递减等差数列，假设公差，那么为常数列。

〔2〕当时,那么有，特别地，当时，那么有.

(3)假设{}是等差数列，那么，…也成等差数列〔公差为md〕

图示：

〔4〕假设等差数列、的前和分别为、，且，

那么.

〔5〕假设、为等差数列，那么为等差数列

(6)求的最值

法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值〔或最小值〕。假设Sp=Sq那么其对称轴为

法二：=1\*GB3①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当由可得到达最大值时的值．

=2\*GB3②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即当由可得到达最小值时的值．

或求中正负分界项

〔7〕设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，那么：

1.当项数为偶数时，，其中n为总项数的一半，d为公差；

2、在等差数列中，假设共有奇数项项，那么

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①根本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*〔或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝〕的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

〔1〕1，3，5，7……；

〔2〕，，，；

〔3〕，，，。

解析：〔1〕=2；〔2〕=；〔3〕=。

点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。

如〔1〕，那么在数列的最大项为__；

〔2〕数列的通项为，其中均为正数，那么与的大小关系为___；

〔3〕数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围；

2、等差数列的判断方法：定义法或。

例2．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，那么{an}是〔〕

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

答案：B；

解法一：an=

∴an=2n－1〔n∈N〕

又an+1－an=2为常数，≠常数

∴{an}是等差数列，但不是等比数列.

解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，那么这个数列一定是等差数列。

点评：此题主要考查等差数列、等比数列的概念和根本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。

练一练：设是等差数列，求证：以bn=为通项公式的数列为等差数列。

3、等差数列的通项：或。

4、等差数列的前和：，。

例3：等差数列{an}的前n项和记为Sn，假设a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，那么数列{an}中也为常数的项是()

A．S7B．S8C．S13 D．S15

解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，

∴3a1＋18d＝p，解a7＝eq\f(1,3)p.

∴S13＝eq\f(13×(a1＋a13),2)＝13a7＝eq\f(13,3)p.

答案：C

例4．等差数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，那么n为()

A．48B．49C．50D．51

解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，那么由a1＝eq\f(1,3)得d＝eq\f(2,3)，令an＝33＝eq\f(1,3)＋(n－1)×eq\f(2,3)，可解得n＝50.应选C.

答案：C

如(1)等差数列中，，，那么