河南省周口市商水县2024-2025学年高三上学期期中数学试题.docx

2024—2025学年度综合能力调研检测数学

本试卷总分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若，则（）

A. B.

C. D.

2.若函数的定义域为集合，集合，，，则是的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（）

A B. C. D.

4.从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（）

A.种 B.种 C.种 D.种

5.记等比数列的前项和为，若，则（）

A. B. C. D.

6.加斯帕尔一蒙日是18—19世纪法国著名的几何学家．他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．现有如图所示半径为的“蒙日圆”，其内接矩形与一椭圆相切（直线与椭圆有且只有一个公共点），且切点为矩形各边的中点，若该矩形的面积为，则该椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

7.已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（）

A B. C. D.

8.若方程与方程共有个不同的实数根，则实数的取值范围为（）

A. B.

C. D.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.2024年巴黎奥运会中男单八进四中樊振东逆转张本智和挺进男单四强，体现了中国体育健儿顽强的意志品质与拼搏精神，其7场的得分分别为2，9，11，11，4，11，11，则这组数据的（）

A.极差为9 B.中位数为11

C.平均数大于9 D.30%分位数为9

10.将函数图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（）

A.的最小正周期为

B.的图象关于点对称

C.的图象关于直线对称

D.若，则是的整数倍

11.若函数，则下列说法正确的是（）

A.在处取得极小值

B.当时，方程有两个不同的实根

C.

D.若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知向量，，记向量与夹角为，则_____．

13.已知函数在区间内最大值为，则_____．

14.已知点在抛物线上，且的焦点为，过点作直线与交于、两点，则的取值范围为_____；若直线、分别交于、两点（点、异于点、），则_____．

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围．

16.假期某家长带着甲、乙两个小孩参与户外活动体验，锻炼小孩的适应能力与创新能力，其中在参与“过独木桥”活动的过程中，每参与一次称为一次实险（不管是否通过），甲、乙两人能一次性通过的概率分别为和．若一次性通过得分；没通过得分，两人每次是否一次性通过均相互独立．已知甲、乙两人各实验一次，且两人得分之和为分的概率为．

（1）求的值；

（2）若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人得分之和的分布列，并通过数据证明．

17.如图，在正三棱柱中，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．

18.已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为．

（1）求的标准方程．

（2）若点是上第一象限的动点，过点作直线（不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）．

（i）证明：．

（ii）若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．

19.定义：如果存在点使得函数和在该点处的函数值相等，则称函数与具有“关于的”关系．

（1）判断函数与是否具有“关于的”关系；

（2）若函数与不具有“关于的”关系，求实数的取值范围；

（3）若函数与在区间上具有“关于的