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高三数学大题规范训练（9）
15.已知函数，且在处的切线方程是．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
【答案】（1），
（2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值
【解答】
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.
【小问1详解】
因为，所以，
又在处的切线方程为，
所以，，
解得，．
【小问2详解】
由（1）可得定义域为，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则在处取得极小值，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
因此极小值为，无极大值．
16.甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．
（1）求进行双打比赛的概率；
（2）设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解答，
【解答】
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可求解；
（2）的可能取值为3，4，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.
【小问1详解】
设进行双打比赛为事件A，甲班前3场获胜2场为事件，乙班前3场获胜2场为事件，
所以，
所以，
所以．
所以进行双打比赛的概率为；
小问2详解】
的可能取值为3，4，
，由（1）可知，，
的分布列为：
3
4
，所以的数学期望为．
17.如图，在四棱锥中，平面平面，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解答
（2）
【解答】
【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.
【小问1详解】
由题意，则，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
18.在平面直角坐标系中，已知点，点（不位于轴左侧）到轴的距离为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若圆与点的轨迹有且仅有一个公共点，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取最大值，且时，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）2（3）32
【解答】
【分析】（1）设，利用两点距离公式及点线距离计算即可；
（2）联立圆与C方程计算即可；
（3）设坐标，含参表示圆的切线方程，利用直线与圆的位置关系及同解方程得，利用三角形面积公式结合基本不等式计算最小值即可.
【小问1详解】
设，则，
所以，
两边平方可得，
整理得，所以点的轨迹方程C为；
【小问2详解】
依题意，联立圆与，可得，
解得或，由于仅有一个公共点，
所以，解得，
所以最大值为2；
【小问3详解】
不妨设，显然，
则直线，直线，
依题意直线PA与圆相切，所以，
整理可得，同理可得，
显然，
所以a，b为关于一元二次方程的两根，
所以，
则，
则面积为
，
当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为32．
【小结】思路小结：第三问设点坐标，利用斜截式表示圆的切线方程，根据直线与圆的位置关系得出同解方程，消元转化再结合基本不等式计算即可.
19.已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数．
（1）若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由；
（2）已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），2024是3阶3维表示数，理由见解答
（2）当时，不存在不全为0的使结论成立，当时，
【解答】
【分析】（1）利用给定递推关系求出，在利用给定定义判断3阶3维表示数即可.
（2）利用给定定义结合分类讨论思想求解即可.
【小问1详解】
由于，因此的奇数项与偶数项都是等差数列，
且公差均为4，又因为，，
因此是2为首项，2为公差的等差数列，即，
当时，设，
则，此时取即可（取法不唯一）；
【小问2详解】
由题意可知满足方
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