高三数学大题规范训练(14)(原卷版).docxVIP

高三数学大题规范训练（14）

15.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．

16.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：

科普测试成绩x

科普过程性积分

人数

4

10

3

a

2

b

1

23

0

2

（1）当时，

（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；

（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.

17.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若函数存在最大值，求的取值范围.

18.已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ

（1）求Γ的方程；

（2）坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.

①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值.

19.如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.

（1）若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；

（2）若等差数列首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；

（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.