高三数学大题规范训练(18)(解析版).docxVIP

高三数学大题规范训练（18）

15.已知等比数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）

（2）

【解答】

【分析】（1）设公比为，根据等比数列的通项公式求出、，即可求出通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；

【小问1详解】

解：因为为等比数列，且，，设公比为，

所以，所以，，

所以；

【小问2详解】

解：因为，

所以

16.如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：

（1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；

（2）当的值为多少时，能使平面？

【答案】（1）

（2）1

【解答】

【分析】（1）根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值；

（2）可先猜测的值，然后证明平面，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明、或者补形证明、或者利用空间向量的线性运算证明．

【小问1详解】

连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接．

四边形是菱形，

，又，．

又，，

△△，，

，，

又，，平面

平面，

又平面，．

是二面角的平面角．

方法一：∵，可得，，

又．

因为平面，故平面平面，

而平面平面，平面，

故平面，而平面，故，

而，平面，故平面，

而平面，故，

∴．

又，∴，

∴．

方法二：在中，．

由余弦定理知，

又，∴，

∴，即．

∴是中点，．

方法三：∵，，

∴，

即．

∴，

∴，

，．

∴，故．

小问2详解】

当时，能使平面．

方法一：由前知平面，∴．

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形．

同的证法可得，

而平面，故平面．

方法二：∵，∴．

由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于．

∵，且，∴．

又是正三角形的边上的高和中线，

∴点是正三角形的中心．

∴平面，即平面．

方法三：如图，沿面补一个全等的平行六面体．

∴．若平面，则平面．

∴．令．

由余弦定理可知，．

又，则，

即．

∴，解得或（舍）．

由此可知当时，平面．

方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则．

∵，∴．

∴，．

在Rt中，，即，

∴，解得或（舍去）．

由此可知当时，平面．

方法五：记，菱形边长为．

∵是菱形，∴．

又，∴平面，得，要使平面，还需．

由，

则，

得，即时成立．

17.金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t．得到下表：

时间t（min）

人数（人）

10

60

70

30

20

10

（1）从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t大于或等于18min的概率；

（2）估计所有在万达广场站上车乘客花费时间t的中位数；

（3）已知的10人，其平均数和方差分别为2，1；的60人，其平均数和方差分别为9，2，计算样本数据中的平均数和方差．

注：已知的平均数为a，方差为b，的平均数为c，方差为d，的平均数为e，则的方差为．

【答案】（1）0.3；

（2）；

（3）平均数为8，方差为.

【解答】

【分析】（1）根据给定r数表，利用古典概率公式计算即得.

（2）利用频率分布表估算中位数的方法，求出中位数.

（3）利用分层抽样的平均数、方差的求法计算得解..

【小问1详解】

花费时间t大于或等于18min的乘客人数为60，

所以该乘客花费时间t大于或等于18min的概率.

【小问2详解】

由表格数据知：花费时间小于分钟的频率为，花费时间小于分钟的频率为，

因此花费时间t的中位数，，解得：，

所以估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数为.

【小问3详解】

样本数据中的平均数；

方差.

18.已知函数.

（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；

（2）若点是图象对称中心，且，求点的坐标.

【答案】（1），最小正周期为；（2）或.

【解答】

【分析】（1）利用降幂公式、二倍角公式、辅助角公式化简，代入周期公式计算周期；

（2）由对称中心的性质可知，结合求出，即可得到点的坐标．

【详解】（1），

所以，函数的最小正周期为；

（2）由，

点是函数图象的对称中心，

则，得，，

由，解得，得或，

当时，，此时，点的坐标为；

当时，，此时，点的坐标为.

综上所述，点的坐标为或.

【小结】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．

19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相