专题11：函数的单调性-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）.docx

专题11：函数的单调性

精讲温故知新

1、定义：

（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是减函数，如图（2）

注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．

2、巩固概念：

定义的另一种表示方法

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。

强调几点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

=4\*GB3④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．

1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．

2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反．

3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等

3．判断函数单调性的方法

（1）定义法．

（2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单

调性均可直接说出．

图象法．

4.函数的单调性（1）设那么

上是增函数；

上是减函数.

5.单调性性质：

①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；

③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

6.复合函数单调性的判断方法：

⑴如果函数和都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,

和函数也是减函数（增函数）;

增函数增函数

增函数

增函数

增函数

增函数

增函数

增函数

减函数

减函数

减函数

减函数

减函数

减函数

小结：同增异减。

研究函数的单调性，定义域优先考虑。

且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。

题型一：定义法证明或判断函数的单调性

例1：（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（???????）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

.

举一反三

（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（???????）

A． B． C． D．

题型二：求函数的单调区间

例2：设函数,则（???????）

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

举一反三

2022·上海中学高一期中）函数，的单调增区间为______．

题型三：根据函数的单调性求参数

例3：（2021·江西·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

题型四：根据图像判断函数的单调性

例2：（2021·贵州·高二学业考试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（???????）

A． B． C． D．

举一反三

（多选）（2021·云南省昆明市第十中学高一阶段练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（?????）

A．函数的定义域为

B．函数的值域为

C．此函数在定义域内是增函数

D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应

题型五：复合函数的单调性

例5：（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为___________.

举一反三

（2020·辽宁葫芦岛·一模（文））函数的单调递增区间是__________.

题型六：根据函数的单调性解不等式

例6：（2021·北京西城·一模）已知函数，则不等式的解集是（???????）

A． B． C． D．

举一反三

（2022·河北邢台·高考模拟）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

题型七：根据函数的单调性比较大小

例7：（2021·全国·模拟预测（文））已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（???????）

A． B．

C． D．

举一反三

（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（文））已知函数对任意实数x都有，并且对任意，都有，则下列