数值分析复习.ppt

数值分析总复习

第三章线性方程组的直接法第四章线性方程组的迭代法第壹章绪论第二章非线性方程求根第五章函数插值第六章函数迫近第七章数值积分数值微分第八章常微分方程数值解法第九章特性值特性向量内容提纲

第壹章要點回忆1误差的概念绝對误差、相對误差、有效数字定义及互相关系：2误差的传播（数值运算的误差估计）壹元函数、多元函数误差的近似泰勒估计：3误差定性分析条件数、算法的数值稳定性。4算法设计注意事项

知识构造图

第壹章重點掌握[绝對误差]设x*是精确值x的壹种近似，称為x*近似x的绝對误差，简称為误差。在不引起混淆时，简记符号为如果存在着的正数使得有绝对误差则称为x*近似x的一个绝对误差限，简称误差限。

[相對误差]设x*是精确值x的壹种近似，称為x*近似x的相對误差。因称数值的上界为相对误差限，记为

第壹章重點掌握[有效数字]设x的近似值x*有如下原则形式其中m为整数，且假如有则称x*為x的具有n位有效数字的近似数，

相對误差与有效数字间的关系定理设x的近似数x*具有原则形式：①若x*具有n位有效数字，则相對误差②若相对误差则x*至少具有n位有效数字。

用Taylor公式分析误差传播规律当，，…很好地近似了相应的真值时，利用多元函数的一阶Taylor公式可求得y*的绝对误差和相对误差分别为设可微函数中的自变x1、x2、…、xn是相互独立的。函数值y的近似值为

用算术运算的误差估计算术运算的绝對误差传播

算术运算的相對误差传播

算法注意事项防止相近数相減

第壹章經典例題例1．已知数x=2.718281828...,取近似值

x*=2.7182,那麽x具有几位有效数字解；故有四位有效数點评；考察的有效数字的概念。

例2．有效数试确定的相对误差限。解：點评；此題考察相對误差的传播。

例3．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相對误差限是.解法1：根据有效数字与相對误差限的关系解法2：相對误差限的概念點评；此題考察相對误差与·有效数字关系第二种按定义得到的成果更好

例4．的相对误差为的相对误差的----倍。解：根据误差传播公式则有點评；考察壹元函数相對误差传播。

第二章要點回忆1二分法二分法计算過程、二分法先验误差：2不動點迭代法（壹般迭代法）不動點格式构造：3牛顿迭代法牛顿迭代公式不動點收敛性：（局部收敛性、全局收敛性）不動點加速：Aiteken加速牛顿迭代的局部收敛性和全局收敛性；牛顿迭代公式的变形（非重點）

非线性方程数值解法基本概念（单根、重根、收敛阶）求根方法二分法及其收敛性简单迭代法简单迭代法的加速Newton迭代法Newton迭代法的变形重根Newton迭代法Newton下山法割线法迭代格式收敛性定理误差估计迭代格式收敛性定理误差估计知识构造图

方程的解称为方程的根或称为的零点，若其中m为正整数，满足，则显然这时称为的m重零点，或称为的m重根。定理：若只有m阶连续导数，则是的m重零点的充要条件为：，第二章重點掌握

二分法执行环节1．计算f(x)在有解区间[a,b]端點处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中點处的值f(x1)。3．判断若f(x1)=0，则x1即是根，否则检查：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x1]，b1=x1,a1=a;（2）若f(x1)与f(a)同号，则知解位于区间[x1,b]，a1=x1,b1=b。反复执行环节2、3，便可得到壹系列有根区间： (a,b),(a1,b1),…,(ak,bk),…

4、当时5、则即为根的近似先验误差估计：理论基础：定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上持续，假如f(a)?f(b)0，则方程f(x)=0在[a,b]内至少有壹实根x*。

简朴迭代法f(x)=0x=g(x)等价变换构造迭代格式x=g(x)则对于任意的初值x0?S，迭代公式