2025《衡中学案》高考一轮总复习 数学提能训练　练案[41]含答案.doc

2025《衡中学案》高考一轮总复习数学提能训练练案[41]含答案提能训练练案[41]

A组基础巩固

一、单选题

1．给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行．

其中正确命题的个数是(B)

A．0 B．1

C．3 D．4

[解析]只有②正确，故选B.

2．(2022·湖北名师联盟模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是(C)

A．直线EF，AO是异面直线

B．直线EF，BB1是相交直线

C．直线EF与BC1所成的角为30°

D．直线EF与BB1所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3)

[解析]OF綉AE，EF、AO是相交直线，A错；

EF、BB1是异面直线，B错；

如图，OF綉BE，

∴EF∥BO，

∴∠C1BO(或其补角)即为EF与BC1所成的角，

设正方体棱长为2，

则BC1＝2eq\r(2)，OC1＝eq\r(2)，BO＝eq\r(6)，

∴BCeq\o\al(2,1)＝OCeq\o\al(2,1)＋BO2，即BO⊥OC1，

∴∠OBC1＝30°，C对；

EF与BB1所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)，D错；故选C.

3．(2023·广东汕头模拟)已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是(C)

A．直线b与直线c可能是异面直线

B．直线a与直线c可能平行

C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)

D．直线c与平面α可能平行

[解析]因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ，因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，A、B错误，C正确；D选项，假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O?α，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误．故选C.

4．(2024·四川仁寿一中调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则直线A1C1与CE所成角的余弦值为(A)

A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(5),5)

C．eq\f(\r(10),10) D．eq\f(4\r(5),15)

[解析]解法一：连接AC，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，即四边形ACC1A1为平行四边形，故A1C1∥AC，则直线AC与CE所成角即为直线A1C1与CE所成角，即∠ECA即为所求角或其补角；设正方体棱长为2，连接AE，EC1，则AE＝EC1＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，EC＝eq\r(?CC1?2＋?EC1?2)＝3，又AC＝2eq\r(2)，∴cos∠ECA＝eq\f(EC2＋AC2－AE2,2EC·AC)＝eq\f(9＋8－5,2×3×2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而异面直线所成角的范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故直线A1C1与CE所成角的余弦值为eq\f(\r(2),2).故选A.

解法二：如图建立空间直角坐标系，设AB＝2，则eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－2,2)，记A1C1与CE所成角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(A1C1,\s\up6(→))·\o(CE,\s\up6(→))|,|\o(A1C1,\s\up6(→))||\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(6,2\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2).故选A.

5．(2023·宁夏中卫市模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则(B)

A．直线A1E与直线C1F异面，且m＝eq\f(\r(2),3)

B．直线A1E与直线C1F共面，且m＝eq\f(\r(2),3)

C．直线A1E与直线C1F异面，且m＝eq\f(\r(3),3)

D．直线A1E与直线C1F共面，且m＝eq\f(\r(3),3)

[解析]∵E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF∥AC∥A1C1，∴A1、C1、E、F共面，

∴直线A1E与C1F共面．

连接C1D，则C1D∥AB1，

∴∠DC1F为AB1与C1F所成的角(或其补角)，

连接DF，不妨令AA1＝eq\r(2)，则DF＝