对称多项式课件.pptVIP

§1.11对称多项式——韦达定理设①若在上有个根，则②把②展开，与①比较，即得根与系数的关系：一、一元多项式根与系数的关系（所有可能的i个不同的的积之和），特别地，为其根，则有二、n元对称多项式定义设，若对任意，有则称该多项式为对称多项式．如，下列n个多项式称为个未定元的初等对称多项式．1．对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式．则是元对称多项式．特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式．若为对称多项式，为任一多项式，性质即，2．对称多项式基本定理对任一对称多项式,都有n元多项式,使得为初等对称多项式．则必有作对称多项式设对称多项式按字典排列法的首项为证明：再作对称多项式则的首项为则有比较“小”的首项．对重复上述作法，并依此下去.即有一系列对称多项式它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步．．故存在，使于是这就是一个初等对称多项式的多项式．上述证明过程实际上是逐步消去首项.逐步消去首项法的一般步骤：则一定有第一步：找出对称多项式f的首项,第二步：由f的首项写出:说明确定它对应的指数组第三步：作，并展开化简．如此反复进行，直到出现，则再对按一、二、三步骤进行，构造例1.把多项式f表成初等对称多项式的多项式,令的首项是解:作对称多项式它所对应的指数组是它所对应的数组是f的首项是令作对称多项式所以，令于是对于齐次对称多项式还可以采用待定系数法．(设f是m次齐次对称多项式)第一步：根据对称多项式f首项对应的指数组写出所有可能的指数组，且这些指数组满足：③前面的指数组先于后面的指数组．①②附：待定系数法的一般步骤：的初等对称多项式的方幂的乘积：第二步：对每个指数组，写出它对应第三步：设出f由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式，其首项系数即为f的首项系数，其余各项系数分别用A、B、C、…代替．第四步：分组选取适当的的值，计算出及f，性表达式中，得到关于A、B、C、…的线性方程组，解这个线性方程组求得A、B、C、…的值．最后写出所求的f的表达式．将之代入第三步中设出的线例2用待定系数法把表成初等对称多项式的多项式．所有不先于的三次指数组及相应的初等对称解:它所对应的数组是f的首项是多项式方幂的乘积如下表:指数组相应的初等对称多项式方幂的乘积§1.11对称多项式