题组4---导数的应用-(2).docxVIP

高考新课标I卷文科数学圈题

题组4导数的应用

一、考法解法

(一)命题特点分析

导数是一种工具，在研究函数性质时非常有用.高考中主要从以下几个方面进行考查：

求导数及函数在某一点处的切线方程；

用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值；

函数的单调性或极值等讨论字母参数的范围；

利用导数解决实际问题中的最优化问题.

(二)解题方法荟萃

1、熟练掌握导数的定义及运算法那么，会用导数的几何意义解决曲线在某一点处或经过某一点的切线方程在求切线方程时，需注意以下两点：

(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；

(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据点在切线上求解．

2、利用导数确定函数的单调性的方法、求函数极值和最值的方法.指导函数的单调性或极值确定参数范围的方法，注意以下几个问题：

〔1〕利用导数值的符号来求函数的单调区间，必须在函数的定义域内解不等式f＇(x)0〔或f＇(x)0〕;在某一区间内，f＇(x)0〔或f＇(x)0〕是函数在该区间上为增〔或减〕函数的充分条件.

〔2〕如果连续的函数在区间〔a,b〕内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值；可导函数在极值点处导数为0，但是导数为0的点不一定是连续函数的极值点.

二、真题剖析

1、〔2015?新课标I卷文科〕函数的图像在点处的切线过点，那么=________.

答案：1

解析：，所以k=，又，所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1)，即y=(3a+1)x-2a+1，将点(2,7)代入可得a=1.

点评：此题主要考查导数的几何意义，先由导数求出切线的斜率，根据点斜式写出直线的方

程，按部就班地求解.

2、〔2015?新课标I卷文科〕设函数.

〔Ⅰ〕讨论的导函数零点的个数；

〔Ⅱ〕证明：当时，.

解析：〔Ⅰ〕∵，x0,∴

①a≤0时，恒成立的零点个数为0，

②a0时，令那么

∴在(0，+∞)单调递增，

(=1\*romani)a≥e时，存在唯一零点

(=2\*romanii)1ae时，存在唯一零点

(=3\*romaniii)0a1时，存在唯一零点

综上，a0时，的零点个数为1.

〔Ⅱ〕当a0时，由〔Ⅰ〕知有唯一零点且时，单调递减；时，f(x)单调递增.∴

又∵即

∴

从而

故当a0时，.

点评：此题是一道比拟综合的考查导数的应用的题目，由于题中含有参数，故需要注意分类

与整合思想的应用，找准分类标准是关键.题目比拟综合，属于中档题.

3、〔2014?新课标I卷文科〕函数，假设存在唯一的零点，且，那么的取值范围是〔〕

A.B.C.D.

答案：C

解析：(方法1)由，，令，得或，

当时，；

且，有小于零的零点，不符合题意.

当时，

要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选C

(方法2)由，=有唯一的正零点，等价于

有唯一的正零根，令，那么问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记

，由，，，

，要使有唯一的正零根，只需，选C.

点评：此题主要考查导数的运算法那么、函数单调性、最值与导数的关系.同时还考查含参数

问题的处理方法，考查运算求解能力及应用意识,题目比拟综合，属于中档题.

4、〔2013?新课标I卷文科〕函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4

∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，

∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，∴a＝4，b＝4.

(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝2(x＋2)(2ex－1)

令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝lneq\f(1,2)，

列表：

∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)，＋∞))；

单调减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，ln\f(1,2))).

f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2.

点评：此题主要考查导数的几何意义、曲线的切线方程的应用、函数单调性与导数的关系、

函数最值，考查运算求解能力及应用意识,属中档题.

5、〔2012?新课标卷I文