专题18 解三角形综合题-备战2024年浙江新高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

专题18解三角形综合题

1．（2023?新高考Ⅰ）已知在中，，．

（1）求；

（2）设，求边上的高．

【答案】（1）；（2）6

【详解】（1），，

，

，

，

，

，

，

，

，即，

又，，

解得，

又，，

；

（2）由（1）可知，，

，

，

，，

设边上的高为，

则，

，

解得，

即边上的高为6．

2．（2022?新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，求；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1），，．

，

化为：，

，

，，

，

，．

（2）由（1）可得：，，，，

为钝角，，都为锐角，．

，

，

当且仅当时取等号．

的最小值为．

3．（2021?新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．

（1）证明：；

（2）若，求．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：由正弦定理知，，

，，

，，

即，

，

；

（2）法一：由（1）知，

，，，

在中，由余弦定理知，，

在中，由余弦定理知，，

，

，

即，

得，

，

，

或，

在中，由余弦定理知，，

当时，（舍；

当时，；

综上所述，．

法二：点在边上且，

，

，

而由（1）知，

，

即，

由余弦定理知：，

，

，

，

或，

在中，由余弦定理知，，

当时，（舍；

当时，；

综上所述，．

法三：在中，由正弦定理可知，

而由题意可知，

于是，从而或．

若，则，于是，

无法构成三角形，不合题意．

若，则，

于是，满足题意，

因此由余弦定理可得．

4．（2023?杭州二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，且边上的高为，求的周长．

【答案】（1）；（2）15

【详解】（1）因为，

所以由得，

所以，解得或，

因为，

所以，

则，故，

则，解得；

（2）因为，令，

则，

由三角形面积公式可得，则，故，

由余弦定理可得，则，解得，

从而，，，

故的周长为．

5．（2023?宁波一模）在中，角，，所对的边分别为，，，．

（1）求的值；

（2）若，求．

【答案】（1）2；（2）

【详解】（1）中，因为，

结合余弦定理，得，化简可得，

所以．

（2）由，

可得，即，

即，又，

所以，，

所以．

6．（2023?杭州一模）已知中角、、所对的边分别为、、，且满足，．

（1）求角；

（2）若，边上中线，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1），

由正弦定理得，

，

，

，

，

，

，

；

（2），

则，，边上中线，

故，解得，

．

7．（2023?浙江模拟）已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点，，过点作的垂线，垂足为．

（1）若，求的面积；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）如图，连接，

在中，，，，则，

在中，，

所以．

（2）设，易知，

在中，①，

因为，所以，则，

代入①式可得的取值范围为．

8．（2023?宁波二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）若，求；

（2）若的最大角为最小角的2倍，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）当时，，，在中，由余弦定理，得，

所以；

（2）由已知，最大角为角，最小角为角，即，

由正弦定理得，即，

又，所以，

将，代入上式得，

解得．

9．（2023?浙江模拟）如图，在中，为边上一点，，，，．

（1）求的大小；

（2）求的面积．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）在中，，

又，

所以；

（2）在中，，

则，

因为，所以，

在中，，则，

，

在中，因为，

所以，

则，

故．

10．（2023?镇海区校级模拟）设函数，，．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）已知凸四边形中，，，，求凸四边形面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由题意知，得，

因为，所以，所以，所以，

，则，

所以的单调递增区间为；

（2）由，得，

所以四边形的面积，

设，则，

当时，取到最大值．

11．（2023?浙江模拟）中，，，分别是角，，的对边，且有，若，，求的面积．

【答案】或

【详解】中，，

，

，

或．

再由，，可得，．

再由余弦定理可得，解得，或．

当时，的面积为；

当时，的面积为．

综上可得，的面积为或．

12．（2023?金东区校级三模）在中，角，，所对的边分别是，，，已知．

（1）求角的值；

（2）若的面积，，试判断的形状．

【答案】（1）；（2）直角三角形

【详解】（1），

由正弦定理得，

，

，又，

，又，

；

（2），，又，

，，

又，，，

，是直角三角形．

13．（2023?金华模拟）在中，角，，所对应的边为，，．已知的面积，其外接圆半径，且．

（1）求；

（2）若为钝角，为外接圆上的一点，求的取值范围．

【答案】（1）；（2），

【详解】（1）由，得，

又，

由正弦定理，，，

则，

由，

得，